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Topologie

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Vocabulaire général. Glossaire de topologie. Topologie générale. ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUESà l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges Les progrès de l'analyse, dans l'étude des fonctions continues (naïvement : dont la représentation graphique n'a pas de trous), de leur dérivabilité, de leurs limites en un point (fini ou non), de l'existence d'extremums, demandaient une définition rigoureuse de l'idée intuitive de proximité, tout particulièrement lors d'opérations sur ces fonctions.

Topologie générale

Les suites de fonctions et la "découverte" de la convergence uniforme nécessitèrent de nouveaux outils. On travaille là dans des ensembles dont les points (éléments) sont des fonctions : espaces fonctionnels. Le terme actuel de topologie est dû à Listing. Mot à mot, la topologie est la science des lieux (du grec logos = discours au sens discursif : étude, raisonnement et topos = lieu, site). Quelques notions de topologie. En économie, les problèmes d’optimisation et notamment ceux qui se fondent sur l’utilisation de fonctions à deux variables requièrent un certain bagage mathématique.

Quelques notions de topologie

Celui-ci comprend des notions de topologie, notamment pour reconnaître la nature des ensembles de définition. Certaines de ces notions sont assez simples à saisir et sont connues par les lycéens (sans toutefois qu’ils fassent le lien avec des concepts qu’ils découvriront pour certains à bac + 3). D’autres sont beaucoup plus difficiles à saisir intellectuellement. Cette page, l’une des plus abstraites proposées par ce site web, est une introduction à ces notions aux noms parfois étranges… La topologie est une branche des mathématiques qui étudie les déformations indépendamment des grandeurs. « La géométrie s'intéresse à des notions comme la position absolue d'un point, la distance ou le parallélisme, qui changent avec la forme de l'espace considéré.

Ainsi, la théorie des graphes est étroitement liée à la topologie. Topologie des espaces normés.

Connexité

Homotopie. Intérieur (topologie) Adhérence. Ouvert (topologie) Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Ouvert (topologie)

Il existe plusieurs définitions des ouverts suivant le type d'espace concerné. Nous reprenons ici la définition pour le cas le plus général à savoir celui des espaces topologiques. Des définitions spécifiques plus explicites existent pour des sous-types d'espaces topologiques tels que les espaces métriques, espaces vectoriels normés ou autres. Ces définitions restent cependant cohérentes avec cette définition générale.

Sur un ensemble E, on peut définir une topologie T comme un ensemble de parties de E vérifiant les trois propriétés suivantes : Alors par définition un sous-ensemble U de E est un ouvert de E pour la topologie T si et seulement U appartient à T (il en résulte que la topologie T peut être définie comme l'ensemble des ouverts de E selon T). Les espaces topologiques les plus couramment étudiés sont munis de diverses structures supplémentaires : Exemple : Les points (x, y) qui satisfont à l'équation x2 + y2 = r2 sont en bleu. Exemple. Frontière (topologie) Continuité (mathématiques) Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Continuité (mathématiques)

Historiquement définie pour des fonctions de la variable réelle, la notion de continuité se généralise à des fonctions entre espaces métriques ou entre espaces topologiques, sous une forme locale et sous une forme globale. L'étude des fonctions continues se révèle fructueuse pour les propriétés qu'elles possèdent (propriété de convergence au sens où « lim(f(x)) = f(lim(x)) », théorème des valeurs intermédiaires, théorème des bornes, intégrabilité…). une fonction définie sur I à valeurs réelles et La fonction f est dite continue en a si :

Fonction continue nulle part dérivable. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Fonction continue nulle part dérivable

La continuité d'une fonction signifie que sa courbe représentative n'admet pas de « cassure ». La dérivabilité assure qu'elle est bien « arrondie ». Il est assez aisé de démontrer que toute fonction dérivable sur un intervalle est continue sur ce même intervalle. Les mathématiciens ont cru jusqu'au XIXe siècle que la réciproque était en partie vraie, que les points où une fonction continue n'est pas dérivable sont rares.

Il n'en est rien. Histoire[modifier | modifier le code] Variété. VARIÉTÉVariety (or manifold), Varietät (oder Mannigfaltigkeit) Une variété topologique de dimension n est un espace topologique localement homéomorphe à l'espace euclidien de dimension n ou au demi-espace (i.e. dont tout point possède un voisinage homéomorphe à ou Les points ayant un voisinage homéomorphe au demi-espace forment le "bord" de la surface ; une variété sans bord est dite simple.

Variété

Variété (géométrie) Plongement. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Plongement

Espaces topologiques[modifier | modifier le code] Toute injection continue ouverte ou fermée est un plongement. Variétés différentielles[modifier | modifier le code] Compacité (mathématiques) Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Compacité (mathématiques)

Une approche plus intuitive de la compacité dans le cas particulier des espaces métriques est détaillée dans l'article « Compacité séquentielle ». Pour une démonstration de cette propriété voir le théorème de Borel-Lebesgue, aussi appelé théorème de Heine-Borel. Un espace topologique E est dit quasi-compact s'il vérifie l'axiome de Borel-Lebesgue : de tout recouvrement ouvert de E, on peut extraire un sous-recouvrement fini. L'espace est dit compact quand il est en outre séparé au sens de Hausdorff (T2). Espace contractile. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Espace contractile

En mathématiques, un espace topologique est dit contractile s'il est homotopiquement équivalent à un point. Tous ses groupes d'homotopie sont donc triviaux, ainsi que ses groupes d'homologie de degré > 0. Exemples et contre-exemples[modifier | modifier le code] Tout espace vectoriel normé (ou même : tout espace vectoriel topologique sur ℝ) est contractile, à commencer par la droite réelle et le plan complexe. La n-sphère Sn n'est pas contractile bien que, pour n ≥ 2, elle soit simplement connexe. La sphère unité d'un espace de Hilbert H de dimension infinie est contractile (et même[2] difféomorphe à H). Le « cercle polonais », obtenu en ajoutant à la courbe sinus fermée du topologue un arc joignant (0, –1) à (1, sin 1), n'est pas contractile, bien que tous ses groupes d'homotopie soient triviaux.

Définitions équivalentes[modifier | modifier le code] Topologie de la droite réelle. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Topologie de la droite réelle

Richard Dedekind (1831 - 1916) a défini rigoureusement les nombres réels et posé les bases de leur étude topologique. partir des propriétés de l'ensemble des nombres réels pour définir les objets de la topologie ;partir des axiomes de la topologie générale et les appliquer à l'ensemble des nombres réels. La topologie de la droite réelle est une topologie de l'ordre et l'ensemble des nombres réels est un corps topologique, ce qui signifie que les notions de limite et de continuité sont compatibles avec l'ordre et les opérations usuelles (addition, soustraction, multiplication et division autre que la division par zéro). Construction et topologie de la droite réelle[modifier | modifier le code] Insuffisance et complétion des nombres rationnels[modifier | modifier le code] si x ≤ y, alors x+a ≤ y+a. Théorème du point fixe de Brouwer. Chemin (topologie) Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Points parcourus par un chemin de A à B dans R². Cependant, différents chemins peuvent parcourir le même ensemble de points. f : I → X. Le point initial du chemin est f(0) et le point final est f(1). On parle souvent de « chemin reliant x à y » où x et y sont les points initiaux et finaux du chemin. F : S1 → X. C'est parce que S1 peut être regardé comme le quotient de I en identifiant 0 ∼ 1. Un espace topologique dans lequel deux points quelconques sont toujours reliés par un chemin est dit connexe par arcs.

Une homotopie entre deux chemins. Les chemins et les lacets sont des sujets centraux d'étude pour la branche de la topologie algébrique appelée théorie de l'homotopie. Topologie - Boules. Topologie - Ouverts et Fermés. Topologie - Adhérence et Intérieur. Un plongement d'une surface dans R3 est une représentation où le plan tangent est continu et où il n'existe aucun ensemble d'auto-intersection. Un plongement d'une surface dans R3 est une représentation où le plan tangent est continu et où il n'existe aucun ensemble d'auto-intersection. La sphère et le tore peuvent être plongés dans R3. Une immersion d'une surface dans R3 possède également un plan tangent continu, mais il y a présence d'un ensemble d'auto-intersection.

Exemples : surface de Boy, bouteille de Klein. Conjecture de Poincaré : les révélations de Perelman. Conjecture de Poincaré : les révélations de Perelman - 9 Photos Qu'est-ce que la topologie ? La topologie est une branche jeune des mathématiques et sa naissance remonte à environ trois siècles avec Leibniz et surtout Euler1. Un problème bien connu de l'époque est celui des ponts de Königsberg : peut-on organiser dans cette ville une promenade dont le trajet serait une boucle qui passe une fois et une seule par chacun des sept ponts ? Cette question, qui relève de la géométrie, ne fait pourtant appel à aucune notion de distance ou d'échelle, car seule compte la disposition relative des ponts.

Les hypothèses peuvent par conséquent être codées par un graphe où l'on cherche un cycle eulérien, à savoir une boucle passant exactement une fois par chacune des arêtes. Le problème des ponts de Königsberg et le graphe associé.Crédits : S. LE TOPOLOGICON. Topologie - 4e ed. - Cours et exercices corrigés - Hervé Queffélec. Topologie générale: Chapitres 1 à 4 - N. Bourbaki. Experiments in Topology - Stephen Barr. Mohammed BOUAYAD - PRETOPOLOGIE ET RECONNAISSANCES DES FORMES (thèse)