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Les nombres

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Les nombres. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Les nombres

La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ». En l’absence d’une définition générale satisfaisante de cette notion[1], les mathématiques proposent plusieurs types de nombres pour exprimer des mesures physiques, résoudre des équations, voire pour appréhender l’infini. En physique, les grandeurs sans dimension sont souvent appelées « nombres », tels le nombre de Reynolds en mécanique des fluides ou les nombres quantiques. En dehors de leur utilisation scientifique, plusieurs nombres ont aussi acquis une charge symbolique forte dans les cultures populaires et religieuses. Conception[modifier | modifier le code] Principe[modifier | modifier le code] Entier naturel.

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Entier naturel

Les entiers naturels sont donc, outre zéro, ceux que l'on commence à énumérer avec la comptine numérique : un, deux, trois, quatre… Mais la liste des entiers naturels est infinie, car chacun d'entre eux a un successeur, c'est-à-dire un entier qui lui est immédiatement supérieur. L'étude des entiers naturels et de leurs relations, avec les opérations d'addition et de multiplication notamment, constitue dès l'Antiquité grecque une branche des mathématiques appelée « arithmétique ». La structure des entiers naturels a été axiomatisée pour la première fois par Peano et Dedekind au XIXe siècle.

À cette époque zéro n'était pas considéré comme un entier naturel (et quelques rares auteurs font encore ce choix), ce qui ne change pas fondamentalement l'axiomatisation. Entier relatif. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Entier relatif

Un nombre réel est entier s'il est sans partie fractionnaire, c'est-à-dire si son écriture décimale ne comprend pas de chiffre (autre que zéro) « après la virgule ». Les entiers relatifs permettent d'exprimer la différence de deux entiers naturels quelconques. Entre autres significations de la différence, on peut citer la position sur un axe orienté par rapport à un point de référence (un axe à positions discrètes, c'est-à-dire discontinues) ; le déplacement depuis une position d'origine, dans un sens ou dans l'autre ; ou encore la variation d'une valeur entière, donc comptée en unités (variation positive pour un gain, négative pour une perte).

Cet ensemble est (totalement) ordonné pour la relation de comparaison usuelle héritée des entiers naturels. Nombre décimal. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Nombre décimal

Nombre rationnel. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Nombre rationnel

Chaque nombre rationnel peut s'écrire d'une infinité de manières différentes, comme 1/2 = 2/4 = 3/6 = etc. Mais il existe une forme privilégiée, quand a et b n'ont pas de diviseurs communs autre que 1 (ils sont premiers entre eux). Tout nombre rationnel non nul possède exactement une seule forme de ce type avec un dénominateur positif. On parle alors de fraction irréductible. Nombre irrationnel. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. , où a et b sont deux entiers relatifs (avec b non nul).

Nombre irrationnel

Les premiers nombres irrationnels découverts sont les racines carrées des entiers qui ne sont pas des carrés parfaits, entre autres √2 (voir des démonstrations de son irrationalité). Plus généralement, on appelle nombres algébriques les nombres qui sont racine d'un polynôme à coefficients rationnels ; cette catégorie facile à construire permet d'exhiber de nombreux nombres irrationnels.

Les nombres qui ne sont pas algébriques (c'est-à-dire qui ne sont racine d'aucun polynôme à coefficients rationnels) sont appelés nombres transcendants ; ils sont tous irrationnels. Les nombres π et e font partie de cette seconde catégorie de nombres irrationnels. Histoire[modifier | modifier le code] Nombre transcendant. Nombre réel. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Nombre réel

Pour les articles homonymes, voir Réel. En mathématiques, un nombre réel est un nombre qui peut être représenté par une partie entière et une liste finie ou infinie de décimales. Cette définition s'applique donc aux nombres rationnels, dont les décimales se répètent de façon périodique à partir d'un certain rang[note 1], mais aussi à d'autres nombres dits irrationnels, tels la racine carrée de 2, π et e. L'adjectif « réel » est utilisé pour qualifier des nombres dès le XVIIe siècle[H 1], mais il n'est explicitement défini par opposition aux nombres imaginaires qu'à la fin du XIXe siècle[3] Il a aussi été opposé à « nombre formel » dans certaines traités de théologie ou de philosophie de la même époque[H 2].

Dans la vie courante[modifier | modifier le code] Le plus souvent, seuls certains sous-ensembles de réels sont utilisés : En science[modifier | modifier le code] En revanche, le physicien ne peut réaliser des mesures de précision infinie. Nombre hyperréel. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Nombre hyperréel

En mathématiques, le corps ordonné des nombres hyperréels constitue une extension *ℝ des nombres réels usuels, permettant de donner un sens rigoureux aux notions de quantité infiniment petite ou infiniment grande. On peut éviter alors l'emploi des passages à la limite et des expressions conditionnées par une valeur ε « aussi petite qu'on veut ». Il n'y a pas unicité de l'ensemble *ℝ, mais le choix d'une extension en particulier n'a que peu d'incidence en pratique. Tout comme on peut construire l'ensemble des nombres réels à partir de suites de nombres rationnels, on peut construire un modèle des nombres hyperréels à partir de suites de nombres réels. Techniquement, on utilise une ultrapuissance pour construire cette extension. Introduction : pourquoi les hyperréels ? Nombre complexe. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Nombre complexe

Pour les articles homonymes, voir complexe. L'ensemble des sommes et produits de nombres réels et du nombre imaginaire i (les nombres de la forme a + ib) (en électricité et en électronique, les nombres imaginaires sont identifiés par la lettre j au lieu de i, i étant en électricité et électronique l'intensité du courant) satisfait les propriétés d'une structure de corps commutatif qui contient le corps des réels. Il est appelé corps des nombres complexes et se note ℂ. Il est muni de l'application module qui généralise la valeur absolue des nombres réels, mais ne peut pas être ordonné totalement de façon compatible avec sa structure de corps. En algèbre, le théorème de d'Alembert-Gauss identifie le degré d'un polynôme complexe non nul au nombre de ses racines comptées avec leur ordre de multiplicité. Nombre hypercomplexe. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

En mathématiques, le terme nombre hypercomplexe est utilisé pour désigner les éléments des algèbres qui sont étendues ou qui vont plus loin que l'arithmétique des nombres complexes. Les nombres hypercomplexes ont eu un grand nombre de partisans incluant Hermann Hankel, Georg Frobenius, Eduard Study et Elie Cartan. L'étude des systèmes hypercomplexes particuliers conduit à leur représentation avec l'algèbre linéaire. Les nombres hypercomplexes sont utilisés en physique quantique pour calculer la probabilité d'un événement en tenant compte du spin de la particule. En négligeant le spin, les nombres complexes « normaux » suffisent. Quaternion. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Quaternion

Plaque commémorative de la naissance des quaternions sur le pont de Broom (Dublin). « Ici, le 16 octobre 1843, alors qu'il se promenait, Sir William Rowan Hamilton découvrit dans un éclair de génie la formule fondamentale sur la multiplication des quaternionsi2 = j2 = k2 = ijk = –1et la grava sur une pierre du pont. »