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L'univers des nombres

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Nombres, curiosités, théorie et usages. L'univers de Pi. Nombres brésiliens. Le problème 3n+1. Professeur à l'Université du Littoral Côte d'Opale, Calais.

Le problème 3n+1

Le problème offre un contraste saisissant : d’un côté il est extrêmement simple à énoncer, de l’autre il semble extrêmement difficile à résoudre. Quel est-il donc ? On définit une règle de transformation sur les nombres entiers 1,2,3,... de la façon suivante : étant donné un entier naturel quelconque, si est pair, on le divise par 2 ; si est impair, on le multiplie par 3 et on ajoute 1. Par exemple, appliquée au nombre 14, cette transformation donne 7 ; et appliquée à 7 elle donne 22. Plus généralement, on écrira pour dire « va sur », sous-entendu toujours par cette transformation. Le problème est le suivant : partons d’un nombre entier positif quelconque, et appliquons-lui cette transformation de façon répétée. Tous les calculs faits à ce jour confirment cette prédiction. Un peu de vocabulaire On appellera transformation de Collatz cette transformation, du nom de son premier inventeur, dans les années 1930 semble-t-il.

Le logo. La conjecture de Goldbach. Dans cet article, nous allons partir à la découverte d’une des plus célèbres conjectures mathématiques.

La conjecture de Goldbach

Elle a été énoncée en 1742 par le mathématicien allemand Christian Goldbach dans une lettre (qui constitue le logo de cet article) au mathématicien suisse Leonhard Euler [1]. Il s’agit ainsi d’un des plus vieux problèmes mathématiques irrésolus à ce jour. La conjecture de Goldbach fait intervenir les nombres premiers. Plutôt que de livrer d’emblée son intitulé, nous allons commencer par présenter l’ensemble des nombres premiers, donner sa propriété fondamentale et voir les raisons qui peuvent conduire à énoncer la conjecture de Goldbach. Dans tout l’article, il ne sera question que de nombres entiers plus grands que 1, c’est-à-dire des nombres 1,2,3,\ldots. Les nombres premiers On dit qu’un nombre est premier s’il n’est divisible que par 1 et lui-même, et qu’il est plus grand que 2 [2]. Cette liste s’arrête-t-elle ? Mais ni 6, ni 10 ne sont premiers. Deux constats s’imposent : 1+2+3+4+5+6+7+… = -1/12. Les mathématiciens sont parfois un peu fêlés.

1+2+3+4+5+6+7+… = -1/12

En tout cas ils aiment bien essayer de repousser les limites de notre compréhension, quitte à défier le sens commun. Prenez par exemple la somme suivante : 1+2+3+4+5+6+7… et ainsi de suite. Combien vaut cette somme ? Je pense que n’importe quel écolier censé répondrait "l’infini". Eh bien oui, mais non. Edit du 19/01/2014 : après toutes les controverses suscitées par ce billet, j’ai décidé d’en écrire un autre pour justifier pourquoi ce que je raconte ici n’est pas juste un délire de mec qui manipule des objets mathématiques n’importe comment. Échauffement, niveau 1 A titre d’échauffement, commençons par une somme un peu plus simple : Combien vaut cette somme ? Eh bien on peut en fait rigoureusement démontrer que cette somme vaut bien 1/2. Les fractions continues. Aujourd’hui je voudrais vous parler d’une construction mathématique très jolie et injustement méconnue : les fractions continues.

Les fractions continues

Vous allez voir que les fractions continues sont à la fois simples, amusantes, belles et utiles ! Que demander de plus ? Pi, ça vaut combien en gros ? Même si vous n’êtes pas un super-geek, il est vraisemblable que vous connaissiez au moins les quelques premières décimales du nombre. . , c’est un truc pratique mais forcément imparfait. . , par exemple Les fractions continues, c’est une autre manière de représenter et d’approximer des nombres réels, une alternative à l’écriture décimale.

Pour commencer, si on veut approximer et qu’on est vraiment fainéant, on peut décider de laisser tomber les chiffres après la virgule et simplement dire que C’est un peu cru, alors voyons ce que l’on peut faire de mieux. est égal à 3, plus un petit quelque chose On peut décider de prendre l’inverse de ce petit quelque chose et donc d’écrire Voilà qui est mieux que de simplement dire que . . La quête ds décimal de Pi. OEIS - Encyclopédie des suites entières.

Inverse Symbolic Calculator.