Problèmes non résolus en mathématiques. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
En toute généralité la résolution d'un problème en mathématique est relative au cadre axiomatique dans lequel on se place. Pour exemples on peut prouver plus en logique classique qu'en logique intuitionniste et aussi plus dans la théorie des ensembles usuelle que dans la théorie arithmétique. On a par exemple le théorème de Goodstein qui s'exprime dans le langage de l'arithmétique et qui est démontré un indécidable de la théorie arithmétique, lors qu'il est un théorème de la théorie des ensembles.
Aussi le célèbre dernier théorème de Fermat, qui lui aussi s'exprime dans le langage de l'arithmétique, est résolu en théorie des ensembles, mais on ne sait pas s'il est résoluble ou non dans la théorie arithmétique [1]. Liste de conjectures mathématiques. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Ce qui suit est une liste de conjectures mathématiques, non exhaustive. Elles sont divisées en quatre sections, en accord avec leur état en 2011. Voir aussi : et, pour les résultats prouvés, et aussi. Les sept défis mathématiques réputés insurmontables. Les problèmes du prix du millénaire sont un ensemble de sept défis mathématiques réputés insurmontables, posés par l'Institut de mathématiques Clay en 2000.
La résolution de chacun des problèmes est dotée d'un prix d'un million de dollars américains offert par l'institut. En 2021, six des sept problèmes demeurent non résolus. Description générale[modifier | modifier le code] Chacun des défis consiste à : Chacune de ces solutions permettra de consolider les bases théoriques dans certains domaines des mathématiques fondamentales et constituera un important tremplin qui servira à approfondir les connaissances associées. Hypothèse de Riemann. Conjecture de Poincaré. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Elle faisait jusqu'alors partie des problèmes de Smale et des sept « problèmes du prix du millénaire » recensés et mis à prix en 2000 par l'Institut de mathématiques Clay[1]. En 2006, cette démonstration a été validée par l'attribution d'une médaille Fields à Perelman (qu'il a refusée) ; de plus, en mars 2010, l'institut Clay a officiellement décerné le prix correspondant à Perelman, prix qu'il a également refusé, en raison d'un « désaccord avec les décisions de la communauté mathématique[2] ». Historique[modifier | modifier le code] Formulation[modifier | modifier le code] La conjecture fut formulée pour la première fois par Henri Poincaré en 1904, et s'énonce ainsi : Poincaré ajouta, avec beaucoup de clairvoyance, un commentaire : « mais cette question nous entraînerait trop loin ».
Ni la sphère ni un autre espace tridimensionnel dépourvu de frontière autre que Progrès récents[modifier | modifier le code] Grigori Perelman. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Pour les articles homonymes, voir Perelman. Grigori Perelman. La démonstration. Problème P = NP. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Représentation visuelle des deux configurations possibles. En mathématiques, et plus précisément en informatique théorique, le problème P = NP est un problème non résolu, et est considéré par de nombreux chercheurs comme un des plus importants problèmes du domaine, et même des mathématiques en général. L'Institut de mathématiques Clay a inclus ce problème dans sa liste des 7 problèmes du prix du millénaire[1], et offre à ce titre 1 000 000 $ à quiconque sera en mesure de prouver P = NP ou P ≠ NP. Ce problème est également le troisième problème de Smale. Très schématiquement, il s'agit de déterminer si le fait de pouvoir vérifier rapidement une solution à un problème implique de pouvoir la trouver rapidement ; ou encore, si ce que nous pouvons trouver rapidement lorsque nous avons de la chance peut être trouvé aussi vite par un calcul intelligent.
Complexité des algorithmes, classes P et NP[modifier | modifier le code] [Woeginger 1]. avec , ou. Conjecture de Hodge. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
La conjecture de Hodge est une des grandes conjectures de la géométrie algébrique. Elle établit un lien entre la topologie algébrique d'une variété algébrique complexe non singulière et sa géométrie décrite par des équations polynomiales qui définissent des sous-variétés. Conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Pour les articles homonymes, voir BSD. En mathématiques, la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer prédit que pour toute courbe elliptique sur le corps des rationnels, l'ordre d'annulation en 1 de la fonction L associée est égal au rang de la courbe. Elle prédit même la valeur du premier terme non nul dans le développement limité en 1 de cette fonction L. Ouverte depuis plus de quarante ans, la conjecture n'a été démontrée que dans des cas particuliers. Largement reconnue comme un des problèmes mathématiques les plus difficiles et les plus profonds encore ouverts au début du XXIe siècle, elle est un des sept problèmes du prix du millénaire.
Contexte[modifier | modifier le code] L'entier r, appelé le rang de la courbe, est un invariant important de la courbe elliptique. Bien que le théorème de Mordell montre que ce rang est toujours fini, il ne donne pas de méthode effective pour calculer le rang de chaque courbe. Pour une certaine constante C.
Équations de Navier-Stokes. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Pour les articles homonymes, voir Stokes. En mécanique des fluides, les équations de Navier-Stokes sont des équations aux dérivées partielles non linéaires qui sont censées décrire le mouvement des fluides « newtoniens » (liquide et gaz visqueux ordinaires) dans l’approximation des milieux continus. La résolution de ces équations modélisant un fluide comme un milieu continu à une seule phase incompressible, si elle est possible, est ardue. Conjecture de Catalan.