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Logique

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Alan Turing honoured on new £50 banknote. Prix Schock. Problème de la décision. En logique mathématique, on appelle problème de la décision le fait de déterminer de façon mécanique, par un algorithme, si un énoncé est un théorème de la logique égalitaire du premier ordre, c’est-à-dire s'il se dérive dans un système de déduction (voir système à la Hilbert, calcul des séquents, déduction naturelle), sans autres axiomes que ceux de l'égalité.

Problème de la décision

De façon équivalente par le théorème de complétude, il s'agit de savoir si un énoncé est universellement valide, c’est-à-dire vrai dans tous les modèles (de l'égalité). Programme de Hilbert. Le Programme de Hilbert est un programme créé par David Hilbert dans le but d'assurer les fondements des mathématiques.

Programme de Hilbert

Description[modifier | modifier le code] Les conceptions scientifiques de David Hilbert ont une grande influence sur les mathématiciens de l'époque. Hilbert s'oppose fermement au pessimisme scientifique prôné en particulier par le physiologiste Emil du Bois-Reymond[1], pour qui il est des questions en sciences qui resteront toujours sans réponse, une doctrine connue sous le nom d'« Ignorabimus » (du latin ignoramus et ignorabimus : « Nous ne savons pas et nous ne saurons jamais »). Pour Hilbert, « il n'y a pas d'Ignorabimus en mathématiques » ((de) Wir müssen wissen.

Wir werden wissen : « Nous devons savoir. La découverte de paradoxes dans les théories proposées par Cantor et Frege sur les fondements des mathématiques ébranle la confiance en ceux-ci. Tant que l'on manipule le fini, les mathématiques sont sûres. Énigmes logiques et paradoxes, les plus classiques. Carl G.

énigmes logiques et paradoxes, les plus classiques

Hempel (1905-1997), philosophe américain, d’origine allemande, proposa ce paradoxe en 1946. Il s’agit "simplement " de vérifier que: Tous les corbeaux sont noirs. On peut rechercher les corbeaux et noter leur couleur. Paradoxe de Hempel. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Paradoxe de Hempel

Énoncé[modifier | modifier le code] Lorsqu'on dit « Tous les corbeaux sont noirs », cette phrase est logiquement équivalente à « Tous les objets non-noirs sont des non-corbeaux », conformément à la loi de contraposition : Post hoc ergo propter hoc. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Post hoc ergo propter hoc

Le groupe LIGC (héritier du groupe LMP né en 2000) regroupe des philosophes et des scientifiques (...) - Logique et Interaction : vers une Géométrie de la Cognition. Style de Fitch pour la déduction naturelle. Gödel’s Incompleteness Theorem: Ontological Mathematics vs. Science. Most people think that Gödel’s Incompleteness Theorem means something about the final answer to everything being something that can never be attained, only more and more closely approximated, because any system of logic and its axioms will always be incomplete and contain inconsistent statements inevaluable as either absolutely true or false.

Gödel’s Incompleteness Theorem: Ontological Mathematics vs. Science

Similarly, Stephen Hawking wrote in the ‘Brief History of Time’ that it seemed as though science would only ever asymptote towards a final theory of everything, but never completely get there. To properly understand Gödel, it is helpful to understand his philosophical enemies, one being Bertrand Russell. Russell wished to explain mathematics and numbers as having originated, and originating in, a more fundamental set of axioms that determined the truth or falsity of mathematical statements. Basically, he wished to prove that mathematics was a creation of the human mind, that it was a convention of logic among humans.

Mathematics is numbers. Le théorème d'incomplétude de Godel - PS n°92. Le théorème d’incomplétude de Gödel. C’est en cours de philo que j’en ai entendu parler pour la première fois !

Le théorème d’incomplétude de Gödel

Notre prof nous faisait un cours sur la logique et ses fondements, et c’est alors qu’elle le mentionna : le fameux théorème de Gödel, celui qui prouve que quoi qu’on fasse, il existe des énoncés mathématiques vrais, mais indémontrables. Les mathématiques resteront à tout jamais un édifice imparfait ! J’en fus évidemment tout retourné et fasciné : comment était-il possible qu’un truc pareil existe ? Paradoxe de Goodman. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Paradoxe de Goodman

Énoncé[modifier | modifier le code] Raisonnement par l'absurde. Sur les autres projets Wikimedia : apagogie, sur le Wiktionnaire En philosophie[modifier | modifier le code] Apagogie positive[modifier | modifier le code] On parle d'apagogie positive ou de démonstration par l'absurde simple quand la conclusion affirme la vérité d'une proposition, non en l'établissant directement par une démonstration tirée de la nature même de la chose, mais indirectement, en faisant voir que la proposition contraire est absurde.

Raisonnement par l'absurde

On conclut de la fausseté de l'une à la vérité de l'autre. Intuitionnisme. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Intuitionnisme

L'intuitionnisme est une philosophie des mathématiques que L. List of paradoxes. This is a list of paradoxes, grouped thematically. The grouping is approximate, as paradoxes may fit into more than one category. Because of varying definitions of the term paradox, some of the following are not considered to be paradoxes by everyone. This list collects only scenarios that have been called a paradox by at least one source and have their own article. Although considered paradoxes, some of these are based on fallacious reasoning, or incomplete/faulty analysis. Informally, the term is often used to describe a counter-intuitive result. Curry's paradox. Curry's paradox is a paradox that occurs in naive set theory or naive logics, and allows the derivation of an arbitrary sentence from a self-referring sentence and some apparently innocuous logical deduction rules.

It is named after the logician Haskell Curry. Kleene–Rosser paradox. In mathematics, the Kleene–Rosser paradox is a paradox that shows that certain systems of formal logic are inconsistent, in particular the version of Curry's combinatory logic introduced in 1930, and Church's original lambda calculus, introduced in 1932–1933, both originally intended as systems of formal logic. Type theory. In mathematics, logic, and computer science, a type theory is any of a class of formal systems, some of which can serve as alternatives to set theory as a foundation for all mathematics.

In type theory, every "term" has a "type" and operations are restricted to terms of a certain type. Proof-theoretic semantics. Portail:Logique. Une page de Wikipédia, l'encyclopédie libre. Ce portail a pour but de présenter la logique qui est un des domaines les plus importants de la recherche et de la connaissance. Category:Logic stubs. Liste de concepts logiques. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. Cet article liste les principaux concepts logiques, au sens philosophique du terme, c'est-à-dire en logique générale (issue de la dialectique).

Nota : Liste des concepts logiques de la philosophie. Bibliographie de logique et de philosophie du langage. Logique. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. Gregor Reisch« La logique présente ses thèmes centraux », Margarita Philosophica, 1503/08 (?). Les deux chiens veritas et falsitas courent derrière le lièvre problema, la logique se presse armée de son épée syllogismus. En bas à gauche se trouve Parménide dans une grotte, grâce auquel la logique aurait été introduite dans la philosophie.

La logique (du grec logikê, dérivé de logos (λόγος), terme utilisé pour la première fois par Xénocrate[1] signifiant à la fois raison, langage, et raisonnement) est dans une première approche l'étude des règles formelles que doit respecter toute argumentation correcte. Логика. Logique mathématique. Introduction à la logique mathématique. Nous avons maintenant tous les outils en main pour réaliser des raisonnements mathématiques complets. Un raisonnement permet d'établir une proposition à partir d'une ou de plusieurs propositions initiales admises (ou précédemment démontrées) en suivant les règles de la logique.

Les territoires de la logique. Théorie des ensembles de von Neumann–Bernays–Gödel. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. Théorème de Herbrand. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. En logique, le théorème de Herbrand établit un lien entre calcul des prédicats et calcul des propositions. Alors qu'il est possible de déterminer de manière certaine si une proposition du calcul des propositions est démontrable ou pas, la question équivalente pour une formule du calcul des prédicats est plus délicate. Le théorème de Herbrand répond partiellement à cette question, bien qu'on sache depuis les travaux de Gödel, Tarski, Church, Turing et autres, qu'il n'existe pas d'algorithme permettant de décider si une formule générale du calcul des prédicats est prouvable ou non. Formules prénexes[modifier | modifier le code]

Autoréférence. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. Autosimilarité. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. Fractale. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. Mise en abyme. Théâtre dans le théâtre. Film contenant un film. Argument circulaire. Formule autoréférente de Tupper. Aporie. Paradoxe. Paradoxes (Jean-Paul Delahaye) Paradoxe de Curry. Paradoxe de Russell. Paradoxe de Hempel. Cercle vicieux. Paradoxe de l'œuf et de la poule. Paradoxe du menteur. Contradiction performative. Pangramme autodescriptif. Sophisme. Totalité. Logique intuitionniste.

Constructivisme (mathématiques) Logique linéaire. Calcul des propositions. Calcul des prédicats. Forme prénexe. Syllogisme. Barbara (syllogisme) Prédicat (logique mathématique) Validité (logique) Déduction naturelle. Modus ponens. Théière de Russell. Théorie des modèles. Ehrenfeucht–Fraïssé game. Skolémisation. Élimination des quantificateurs. Idéographie. Théorèmes d'incomplétude de Gödel. Les théoremes d'incomplétude de Gödel - La tour d'ivoire de John Bonobo. Le théorème de Gödel pour les nuls. Preuve ontologique de Gödel. Incomplétude, Gödel, un aperçu. Logique modale. Nécessité et contingence. Possibilité et impossibilité. Mondes possibles.