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Logique

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Le groupe LIGC (héritier du groupe LMP né en 2000) regroupe des philosophes et des scientifiques (...) - Logique et Interaction : vers une Géométrie de la Cognition. Style de Fitch pour la déduction naturelle. Gödel’s Incompleteness Theorem: Ontological Mathematics vs. Science. Most people think that Gödel’s Incompleteness Theorem means something about the final answer to everything being something that can never be attained, only more and more closely approximated, because any system of logic and its axioms will always be incomplete and contain inconsistent statements inevaluable as either absolutely true or false.

Gödel’s Incompleteness Theorem: Ontological Mathematics vs. Science

Similarly, Stephen Hawking wrote in the ‘Brief History of Time’ that it seemed as though science would only ever asymptote towards a final theory of everything, but never completely get there. To properly understand Gödel, it is helpful to understand his philosophical enemies, one being Bertrand Russell. Russell wished to explain mathematics and numbers as having originated, and originating in, a more fundamental set of axioms that determined the truth or falsity of mathematical statements.

Basically, he wished to prove that mathematics was a creation of the human mind, that it was a convention of logic among humans. Mathematics is numbers. Le théorème d'incomplétude de Godel - PS n°92. Le théorème d’incomplétude de Gödel. C’est en cours de philo que j’en ai entendu parler pour la première fois !

Le théorème d’incomplétude de Gödel

Notre prof nous faisait un cours sur la logique et ses fondements, et c’est alors qu’elle le mentionna : le fameux théorème de Gödel, celui qui prouve que quoi qu’on fasse, il existe des énoncés mathématiques vrais, mais indémontrables. Les mathématiques resteront à tout jamais un édifice imparfait ! J’en fus évidemment tout retourné et fasciné : comment était-il possible qu’un truc pareil existe ? Comment prouver ce résultat pouvait même être du domaine de la science ?

Peut-on tout démontrer en mathématiques ? Quand on fait des mathématiques, on manipule des énoncés. Quand on considère un énoncé mathématique, on ne sait pas forcément à l’avance s’il est vrai ou faux. Si un mathématicien arrive à démontrer un énoncé, on considère que cet énoncé est "vrai". Les mathématiques reposent donc sur l’idée que si un énoncé est vrai, alors il doit en exister une démonstration, et il n’y a plus qu’à la trouver.

Like this: Paradoxe de Goodman. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Paradoxe de Goodman

Énoncé[modifier | modifier le code] Goodman inventa l'adjectif « vleu » (« grue » en anglais) signifiant « vert jusqu'à une certaine date t et bleu ensuite. » Par symétrie, on peut considérer l'adjectif « bert » (« bleen » en anglais) signifiant « bleu jusqu'à une certaine date t et vert ensuite ». Raisonnement par l'absurde. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Raisonnement par l'absurde

Sur les autres projets Wikimedia : apagogie, sur le Wiktionnaire. Intuitionnisme. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Intuitionnisme

L'intuitionnisme est une philosophie des mathématiques que L. E. J. Brouwer a élaborée au début du XXe siècle. List of paradoxes. This is a list of paradoxes, grouped thematically.

List of paradoxes

The grouping is approximate, as paradoxes may fit into more than one category. Because of varying definitions of the term paradox, some of the following are not considered to be paradoxes by everyone. Curry's paradox. Kleene–Rosser paradox. In mathematics, the Kleene–Rosser paradox is a paradox that shows that certain systems of formal logic are inconsistent, in particular the version of Curry's combinatory logic introduced in 1930, and Church's original lambda calculus, introduced in 1932–1933, both originally intended as systems of formal logic.

Kleene–Rosser paradox

Type theory. In mathematics, logic, and computer science, a type theory is any of a class of formal systems, some of which can serve as alternatives to set theory as a foundation for all mathematics.

Type theory

In type theory, every "term" has a "type" and operations are restricted to terms of a certain type. Proof-theoretic semantics. Gerhard Gentzen is the founder of proof-theoretic semantics, providing the formal basis for it in his account of cut-elimination for the sequent calculus, and some provocative philosophical remarks about locating the meaning of logical connectives in their introduction rules within natural deduction.

Proof-theoretic semantics

The history of proof-theoretic semantics since then has been devoted to exploring the consequences of these ideas. Portail:Logique. Une page de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Portail:Logique

Ce portail a pour but de présenter la logique qui est un des domaines les plus importants de la recherche et de la connaissance. Category:Logic stubs. Liste de concepts logiques. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. Bibliographie de logique et de philosophie du langage. Logique. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. Gregor Reisch« La logique présente ses thèmes centraux », Margarita Philosophica, 1503/08 (?). Les deux chiens veritas et falsitas courent derrière le lièvre problema, la logique se presse armée de son épée syllogismus. En bas à gauche se trouve Parménide dans une grotte, grâce auquel la logique aurait été introduite dans la philosophie.

La logique (du grec logikê, dérivé de logos (λόγος), terme utilisé pour la première fois par Xénocrate[1] signifiant à la fois raison, langage, et raisonnement) est dans une première approche l'étude des règles formelles que doit respecter toute argumentation correcte. Логика. Logique mathématique.

Introduction à la logique mathématique. Nous avons maintenant tous les outils en main pour réaliser des raisonnements mathématiques complets. Un raisonnement permet d'établir une proposition à partir d'une ou de plusieurs propositions initiales admises (ou précédemment démontrées) en suivant les règles de la logique. Nous allons dans cette dernière partie détailler quatre "types" de raisonnement, quatre "méthodes" pour démontrer une proposition : Trouver un exemple ou un contre-exempleDémontrer la contraposéeRaisonner par l'absurdeRaisonner par récurrence Ces différentes formes de raisonnements devront s'appliquer dans des cas bien particuliers.

Exemple et contre exemple. Les territoires de la logique. Théorie des ensembles de von Neumann–Bernays–Gödel. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. La théorie des classes a été introduite en 1925 par John von Neumann, mais celui-ci avait pris comme objets primitifs des fonctions[2]. Théorème de Herbrand. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. En logique, le théorème de Herbrand établit un lien entre calcul des prédicats et calcul des propositions.

Alors qu'il est possible de déterminer de manière certaine si une proposition du calcul des propositions est démontrable ou pas, la question équivalente pour une formule du calcul des prédicats est plus délicate. Le théorème de Herbrand répond partiellement à cette question, bien qu'on sache depuis les travaux de Gödel, Tarski, Church, Turing et autres, qu'il n'existe pas d'algorithme permettant de décider si une formule générale du calcul des prédicats est prouvable ou non.

Formules prénexes[modifier | modifier le code] Une formule du calcul des prédicats est prénexe si tous les quantificateurs qu'elle contient se trouvent au début de la formule. Autoréférence. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. L’autoréférence est la propriété, pour un système, de faire référence à lui-même. La référence est possible lorsqu’on est en présence de deux niveaux logiques, un niveau et un méta-niveau.

Cette situation se rencontre fréquemment en mathématiques, en philosophie, en programmation ou encore en linguistique. Il y a hétéroréférence lorsqu’un mot (ou une phrase) se réfère à un objet (ou une situation) du monde, par exemple : une encyclopédie. Il y a autoréférence lorsqu’un signe se réfère à lui-même. Autosimilarité. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. Le flocon de Koch a une autosimilitude se répétant à l'infini lorsqu'elle est agrandie. L'autosimilarité est le caractère d'un objet dans laquelle on peut trouver des similarités en l'observant à différentes échelles. Définition et précision sur le concept[modifier | modifier le code]

Fractale. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. Ce terme était au départ un adjectif : les objets fractals (selon un pluriel formé sur l'exemple de "chantiers navals"). Les fractales sont définies de manière paradoxale, en référence aux structures gigognes dont ils constituent des cas particuliers : « Les objets fractals peuvent être envisagés comme des structures gigognes en tout point – et pas seulement en un certain nombre de points, les attracteurs de la structure gigogne classique. Cette conception hologigogne (gigogne en tout point) des fractales implique cette définition tautologique : un objet fractal est un objet dont chaque élément est aussi un objet fractal »[2].

Caractéristiques[modifier | modifier le code] Mise en abyme. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. La mise en abyme — également orthographiée mise en abysme ou plus rarement mise en abîme[1] — est un procédé consistant à représenter une œuvre dans une œuvre similaire, par exemple en incrustant dans une image cette image elle-même.

On retrouve dans ce principe l'« autosimilarité » et le principe des fractales ou de la récursivité en mathématiques. Origine de l'expression[modifier | modifier le code] L'expression utilisée dans le sens sémiologique remonte à André Gide, lequel note dans son Journal en 1893 : Théâtre dans le théâtre. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Le théâtre dans le théâtre est une pièce dans laquelle, à un moment donné, les comédiens jouent une pièce de théâtre à l'intérieur même de la pièce[1]. Il peut y avoir aussi des « faux » spectateurs, qui sont des comédiens faisant semblant de regarder. Il y a alors plusieurs niveaux : les spectateurs qui regardent la pièce (pour « de vrai »)les « faux » spectateurs qui sont des comédiens qui jouent des spectateurs assistant au « faux » spectacleles comédiens qui jouent à jouer la (seconde) pièce. Dans certains cas, la seconde pièce (ou « petite pièce » ) présente une analogie avec la « grande pièce » et l'ensemble est une mise en abyme théâtrale. Le métathéâtre est assez semblable, mais est un théâtre qui parle du théâtre, en mettant sous forme de castings, répétitions, débats, coulisses, etc. Film contenant un film. Argument circulaire.

Formule autoréférente de Tupper. Aporie. Paradoxe. Paradoxes (Jean-Paul Delahaye) Paradoxe de Curry. Paradoxe de Russell. Paradoxe de Hempel. Cercle vicieux. Paradoxe de l'œuf et de la poule. Paradoxe du menteur. Contradiction performative. Pangramme autodescriptif. Sophisme. Totalité. Logique intuitionniste. Constructivisme (mathématiques) Logique linéaire. Calcul des propositions. Calcul des prédicats.

Forme prénexe. Syllogisme. Barbara (syllogisme) Prédicat (logique mathématique) Validité (logique) Déduction naturelle. Modus ponens. Théière de Russell. Théorie des modèles. Ehrenfeucht–Fraïssé game.

Skolémisation. Élimination des quantificateurs. Idéographie. Théorèmes d'incomplétude de Gödel. Les théoremes d'incomplétude de Gödel - La tour d'ivoire de John Bonobo. Le théorème de Gödel pour les nuls. Preuve ontologique de Gödel. Incomplétude, Gödel, un aperçu. Logique modale. Nécessité et contingence. Possibilité et impossibilité. Mondes possibles.