background preloader

Dimensions - J. Leys

Facebook Twitter

Dimensions Accueil. Un film pour tout public.

Dimensions Accueil

Neuf chapitres, deux heures de maths, pour découvrir progressivement la quatrième dimension. Vertiges mathématiques garantis! Trouvez des informations supplémentaires pour chaque chapitre : voir "En détail". Cliquez sur l'image à gauche pour voir la bande-annonce (branchez vos haut-parleurs). Téléchargement gratuit et on peut regarder en ligne! Vous pouvez commander le film en format DVD. Ce film est diffusé sous une licence Creative Commons. Maintenant avec encore plus de langues de commentaires et sous-titres : Commentaires en allemand, anglais, arabe, espagnol, français, italien, japonais et russe. Dimensions en détail. Dimensions Chapitre 1. Les plans perpendiculaires à l'axe coupent la sphère sur des cercles qu'on appelle des parallèles.

Dimensions Chapitre 1

On les appelle comme cela peut-être parce qu'ils ne se coupent pas, comme des droites parallèles... Les parallèles sont d'autant plus petits qu'ils sont proches des pôles. L'équateur est un parallèle particulier, à mi-chemin entre les deux pôles ; c'est le plus long des parallèles. Les autres parallèles peuvent être au nord ou au sud de l'équateur, et ils sont décrits par un angle illustré sur la figure en vert ; c'est la latitude. Chaque point de la Terre, à l'exception des pôles, est situé à l'intersection d'un parallèle et d'un méridien et on peut donc lui attribuer une longitude et une latitude ; ce sont les coordonnées géographiques du point.

La chose importante dont il faut se souvenir est que pour décrire un point sur la surface de la Terre, il faut deux nombres et que c'est pour cette raison qu'on dit que la surface de la Terre est de dimension 2. Dimensions 1 Francais. Dimensions Chapitre 2. Dans le film, on voit les cinq polyèdres réguliers qui traversent le plan et on montre les sections/polygones qui se déforment.

Dimensions Chapitre 2

Ce n'est pas facile car les sections dépendent de la manière dont les polyèdres traversent le plan. Par exemple, si un cube se présente de manière qu'une de ses faces soit parallèle au plan, il n'y a pas de surprise : les sections sont des carrés. Dimensions 2 Francais. Dimensions Chapitres 3 et 4. Puis le 24, cet objet dont nous pensons que Schläfli était le plus fier !

Dimensions Chapitres 3 et 4

La raison est que ce nouveau venu est vraiment nouveau ; il ne généralise en aucun cas un polyèdre de dimension 3, comme dans le cas des autres polyèdres. De plus, il a cette propriété merveilleuse d'être autodual : par exemple, il a autant de faces de dimension 2 que de faces de dimension 1 (les arêtes) et autant de faces de dimension 3 que de faces de dimension 0 (les sommets). Et enfin, nous voyons les polyèdres 120 et 600 dont nous avions déjà vu les sections. Cette nouvelle vue nous montre d'autres aspects de ces polyèdres de dimension 4, qui sont décidément bien compliqués. Ces deux méthodes, les sections et les ombres, ont des avantages, mais il faut reconnaître qu'ils ne rendent pas justice à toutes les symétries de ces magnifiques objets. Dans le chapitre suivant, nous utiliserons une autre méthode, celle de la projection stéréographique !

(Voir le film Chapitre 4 : la quatrième dimension, suite) Dimensions 3 Francais. Dimensions 4 Francais. Dimensions Chapitres 5 et 6. Deux notions seront utiles pour la suite : Le module d'un nombre complexe z= x +i y est simplement la distance du point correspondant (x,y) à l'origine.

Dimensions Chapitres 5 et 6

On le note |z| et il est égal, d'après le théorème de Pythagore à √ (x2+y2) . Par exemple, le module de i est égal à 1 et celui de 1+i à √2. L'argument indique la direction de z. Dimensions 5 Francais. Dimensions 6 Francais. Dimensions Chapitre 7 et 8. Rappelons-nous la formule qui exprime la projection de Hopf.

Dimensions Chapitre 7 et 8

En termes des coordonnées complexes, elle envoie (z1,z2) sur le point a=z2/z1 considéré comme un point de S2. Fixer un parallèle p dans S2, c'est fixer le module d'un nombre complexe, si bien que l'image réciproque d'un parallèle est décrite par une équation de la forme |z2/z1| = constante. Choisissons par exemple 1 pour cette constante si bien que z1 et z2 ont le même module. Mais n'oublions pas que |z1|2 + |z2|2 = 1, de sorte que les modules de z1 et de z2 sont tous les deux égaux à √2/2.

Lorsqu'on projette stéréographiquement ce tore dans l'espace de dimension 3 à partir du pôle nord, de coordonnées (0,1), il n'est pas difficile de vérifier que la projection du tore est non seulement seulement homéomorphe à un tore mais qu'il s'agit en fait d'un tore de révolution. Voici quelques formules. Dimensions 7 Francais. Dimensions 8 Francais. Dimensions Chapitre 9. Quels sont les "défauts" et les "implicites" de la preuve présentée ?

Dimensions Chapitre 9

En voici quelques-uns : Dimensions 9 Francais.