Dimensions Accueil. Un film pour tout public. Neuf chapitres, deux heures de maths, pour découvrir progressivement la quatrième dimension. Vertiges mathématiques garantis! Trouvez des informations supplémentaires pour chaque chapitre : voir "En détail". Cliquez sur l'image à gauche pour voir la bande-annonce (branchez vos haut-parleurs). Ce film est diffusé sous une licence Creative Commons. Maintenant avec encore plus de langues de commentaires et sous-titres : Commentaires en allemand, anglais, arabe, espagnol, français, italien, japonais et russe. Film produit par :Jos Leys (Graphiques et animations)Étienne Ghys (Scénario et mathématiques) Aurélien Alvarez (Réalisation et post-production)
Dimensions en détail. Dimensions Chapitre 1. Les plans perpendiculaires à l'axe coupent la sphère sur des cercles qu'on appelle des parallèles. On les appelle comme cela peut-être parce qu'ils ne se coupent pas, comme des droites parallèles... Les parallèles sont d'autant plus petits qu'ils sont proches des pôles. L'équateur est un parallèle particulier, à mi-chemin entre les deux pôles ; c'est le plus long des parallèles. Les autres parallèles peuvent être au nord ou au sud de l'équateur, et ils sont décrits par un angle illustré sur la figure en vert ; c'est la latitude.
Chaque point de la Terre, à l'exception des pôles, est situé à l'intersection d'un parallèle et d'un méridien et on peut donc lui attribuer une longitude et une latitude ; ce sont les coordonnées géographiques du point. La chose importante dont il faut se souvenir est que pour décrire un point sur la surface de la Terre, il faut deux nombres et que c'est pour cette raison qu'on dit que la surface de la Terre est de dimension 2. Dimensions 1 Francais. Dimensions Chapitre 2. Dans le film, on voit les cinq polyèdres réguliers qui traversent le plan et on montre les sections/polygones qui se déforment. Ce n'est pas facile car les sections dépendent de la manière dont les polyèdres traversent le plan.
Par exemple, si un cube se présente de manière qu'une de ses faces soit parallèle au plan, il n'y a pas de surprise : les sections sont des carrés. Mais si on coupe un cube par un plan qui passe par son centre et qui est perpendiculaire à une diagonale, l'intersection est un... hexagone régulier et ceci est peut-être moins évident ?! Après avoir regardé tous les polyèdres traverser le plan, Escher vous propose des exercices. Voici une deuxième idée, qui peut paraître bizarre, mais qui sera extrêmement utile par la suite (lorsque ce sera notre tour d'être "plats", écrasés dans la troisième dimension, et qu'un élu tentera de nous montrer des objets dans son monde de dimension 4...). Dimensions 2 Francais. Dimensions Chapitres 3 et 4. Puis le 24, cet objet dont nous pensons que Schläfli était le plus fier ! La raison est que ce nouveau venu est vraiment nouveau ; il ne généralise en aucun cas un polyèdre de dimension 3, comme dans le cas des autres polyèdres.
De plus, il a cette propriété merveilleuse d'être autodual : par exemple, il a autant de faces de dimension 2 que de faces de dimension 1 (les arêtes) et autant de faces de dimension 3 que de faces de dimension 0 (les sommets). Et enfin, nous voyons les polyèdres 120 et 600 dont nous avions déjà vu les sections. Cette nouvelle vue nous montre d'autres aspects de ces polyèdres de dimension 4, qui sont décidément bien compliqués.
Ces deux méthodes, les sections et les ombres, ont des avantages, mais il faut reconnaître qu'ils ne rendent pas justice à toutes les symétries de ces magnifiques objets. Dans le chapitre suivant, nous utiliserons une autre méthode, celle de la projection stéréographique ! Peut-être y verrons-nous un peu plus clair ? Dimensions 3 Francais. Dimensions 4 Francais. Dimensions Chapitres 5 et 6. Deux notions seront utiles pour la suite : Le module d'un nombre complexe z= x +i y est simplement la distance du point correspondant (x,y) à l'origine. On le note |z| et il est égal, d'après le théorème de Pythagore à √ (x2+y2) . Par exemple, le module de i est égal à 1 et celui de 1+i à √2.
L'argument indique la direction de z. On le note Arg(z) et ce n'est rien d'autre que l'angle entre l'axe des abscisses et la droite joignant l'origine à (x,y). Cet argument n'est défini que si z est non nul. Les mathématiciens ont longtemps essayé de faire la même chose dans l'espace de dimension 3 : comment multiplier des points dans l'espace ? En résumé, les points du plan sont définis par un seul nombre... complexe. Dimensions 5 Francais. Dimensions 6 Francais. Dimensions Chapitre 7 et 8. Rappelons-nous la formule qui exprime la projection de Hopf. En termes des coordonnées complexes, elle envoie (z1,z2) sur le point a=z2/z1 considéré comme un point de S2. Fixer un parallèle p dans S2, c'est fixer le module d'un nombre complexe, si bien que l'image réciproque d'un parallèle est décrite par une équation de la forme |z2/z1| = constante.
Choisissons par exemple 1 pour cette constante si bien que z1 et z2 ont le même module. Mais n'oublions pas que |z1|2 + |z2|2 = 1, de sorte que les modules de z1 et de z2 sont tous les deux égaux à √2/2. Lorsqu'on projette stéréographiquement ce tore dans l'espace de dimension 3 à partir du pôle nord, de coordonnées (0,1), il n'est pas difficile de vérifier que la projection du tore est non seulement seulement homéomorphe à un tore mais qu'il s'agit en fait d'un tore de révolution. Voici quelques formules. |z1| = √2/2 ; |z2| = √2/2 à partir du pôle nord (0,1). Dimensions 7 Francais. Dimensions 8 Francais. Dimensions Chapitre 9. Quels sont les "défauts" et les "implicites" de la preuve présentée ? En voici quelques-uns : - Est-il par exemple évident qu'on peut toujours abaisser une perpendiculaire d'un point sur un plan ?
L'a-t-on démontré ? - Est-il si évident qu'une droite joignant le pôle nord à un point du plan tangent au pôle sud rencontre la sphère en un autre point ? - La preuve montre que la projection d'un cercle est contenue dans un cercle mais montre-t-elle que tout le cercle est bien dans la projection ? Ce ne sont que des exemples, qui pourraient être démontrés rigoureusement bien sûr, mais nous les avons mis en évidence pour mettre en garde le spectateur contre les implicites qui sont présents dans presque toutes les preuves. Faire des mathématiques, c'est avant tout démontrer ce qu'on affirme ! Dimensions 9 Francais.