Les tenseurs pour les nuls Update (24/09/2017) : Nouvelle description détaillée et imagée des composantes covariantes et contravariantes (sans formule). Attention : comme d’habitude sur ce blog, l’approche est très exotique, ce n’est probablement pas une bonne méthode pour apprendre à utiliser ces notions rigoureusement, seulement un moyen de leur donner un sens, une interprétation. Si vous êtes ici, c’est que vous n’aimez pas les formules et les calculs compliqués, mais que vous êtes quand même curieux de savoir ce qu’est un tenseur. Quoi qu’on en dise dans la vie quotidienne, la curiosité est une grande qualité en sciences, elle permet de développer ses connaissances et sa compréhension du monde ! On va donc faire un tour rapide de ce concept, de la manière la plus simple possible. Comment calcule-t-on la longueur d’un vecteur ? C’est simple, on utilise Pythagore. (ou −2 mais les longueurs négatives n’ont pas beaucoup de sens). Facile. Maintenant on a y≈1.15 et x≈0.42. Composantes covariantes et contravariantes
Nombre premier Un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement deux diviseurs distincts entiers et positifs. Ces deux diviseurs sont 1 et le nombre considéré, puisque tout nombre a pour diviseurs 1 et lui-même (comme le montre l’égalité n = 1 × n), les nombres premiers étant ceux qui ne possèdent pas d'autre diviseur. Par exemple, le nombre entier 7 est premier car 1 et 7 sont les seuls diviseurs entiers et positifs de 7. Tout nombre pair étant multiple de 2, les nombres premiers sont par conséquent tous impairs, excepté le nombre 2 lui-même. De plus, tout nombre se terminant par 5 étant un multiple de ce dernier, les nombres premiers (hormis 2 et 5) se terminent tous par 1, 3, 7 ou 9. De telles listes de nombres premiers inférieurs à une borne donnée, ou compris entre deux bornes, peuvent être obtenues grâce à diverses méthodes de calcul. Éléments historiques[modifier | modifier le code] Jalons symboliques[modifier | modifier le code] ). et . Les nombres premiers de la forme : Pour est égal à
Le plus grand nombre premier a été découvert ? Le 25 janvier, Dr Curtis Cooper, par l'intermédiaire du projet GIMPS, a découvert M48, le 48e nombre premier de Mersenne. Ce nombre, 257 885 161-1, est donc officiellement aujourd'hui le plus grand nombre premier connu ! Le précédent record (M47, qui possède 12 978 189 chiffres) datait de 2008. Comme tout a déjà été dit sur ce blog à propos des nombres premiers, revenons plutôt aux bases de la base. Ca veut dire quoi, 257 885 161-1 ?C'est le nombre qui vaut 2×2×...×2-1 (où l'on peut compter 57 885 161 fois le nombre 2). Qu'est ce qu'un nombre premier ? Qu'est ce qu'un nombre de Mersenne ? Parmi les nombres de Mersenne, certains sont premiers, d'autres non : M7 = 27-1 = 127 (premier)M8 = 28-1 = 255 (non premier)M9 = 29-1 = 511 (non premier)M10 = 210-1 = 1023 (non premier)M11 = 211-1 = 2047 (non premier)...M57 885 161 = 257 885 161-1 = 58...plein de chiffres…51 (premier) C'est qui, ce Mersenne ? M48 est-il le plus grand nombre premier ? Il sort d'où, ce Cooper ? A quoi ça sert de savoir ça ?
Hypothèse de Riemann En mathématiques, l'hypothèse de Riemann est une conjecture formulée en 1859 par le mathématicien allemand Bernhard Riemann, selon laquelle les zéros non triviaux de la fonction zêta de Riemann ont tous une partie réelle égale à 1/2. Sa démonstration améliorerait la connaissance de la répartition des nombres premiers et ouvrirait des nouveaux domaines aux mathématiques. Cette conjecture constitue l'un des problèmes non résolus les plus importants des mathématiques du début du XXIe siècle : elle est l'un des vingt-trois fameux problèmes de Hilbert proposés en 1900, l'un des sept problèmes du prix du millénaire et l'un des dix-huit problèmes de Smale. La fonction zêta de Riemann[modifier | modifier le code] La fonction zêta de Riemann est définie pour tous les nombres complexes s de partie réelle strictement supérieure à 1 par Leonhard Euler l’introduit (sans lui donner de nom) uniquement pour des valeurs réelles de l’argument (mais aussi pour (tout en notant que est complexe. et ). R.
Qu'est-ce qu'un tenseur ? C’est là LE gros avantage des tenseurs : plus besoin de tenir compte des changements de base au cas par cas, on considère seulement un groupe ou une “classe” de changements de base via le tenseur métrique ! Boom. Qu’est-ce qu’un tenseur ? Nous avons enfin tous les outils pour répondre à cette question. Les tenseurs ne sont pas seulement la généralisation du concept de vecteur, matrices et tableaux de nombres à plusieurs dimensions. Ils sont aussi et surtout une généralisation de la notion de forme linéaire. Cette dualité permet aux tenseurs d’être relativement indépendants des changements de base : on définit donc un ensemble de changements de bases qui correspondent à un même tenseur métrique, et l’on pourra alors suivre facilement les répercutions de ces changements sur les tenseurs. La notion de covariance en physique Les physiciens ont deux objectifs : ⋆ Modéliser les lois de la physique sous la forme de relations (équations) qui ne changeront pas lors d’un changement de référentiel. Etc…
Nombres premiers - une introduction et développements complets The prime numbers are natural numbers, like 2, 3, 5, 7, 11, . . . , which are not multiples of any smaller natural number, except 1. A prime number is any number whose only factors are 1 and itself. A prime number can be divided evenly only by 1, or itself. And it must be a whole number greater than 1. A prime number (or prime integer, often simply called a "prime" for short) is a positive integer p>1 that has no positive integer divisors other than 1 and p itself. The Fundamental Theorem of Arithmetic states that every integer n >1 can be represented as a product of primes in only one way, apart from the order of the factors. There are infinitely many prime numbers – Euclid (300 A.C.) The sieve of Eratosthenes – Eratosthenes (275–194 B.C.)
nombres premiers Tout nombre non nul possède évidemment deux diviseurs : 1 et lui-même. Il advient que dans le cas de l'unité ces deux diviseurs évidents se confondent. Or certains nombres ne possèdent pas d'autres diviseurs que ces deux diviseurs 'triviaux', on les appelle les nombres 'premiers' , c'est par exemple le cas de 2, 3, 5, etc... Les raisons pour lesquelles on refuse à 1 la qualité de nombre premier ne tiennent pas au fait que c'est le neutre de la multiplication mais plutôt au fait que c'est le seul élément inversible de ℕ. Il résulte de la théorie des anneaux que les éléments inversibles n'ont pas à être pris en compte pour les problèmes de décomposition (factorisation), faute de quoi on ne peut énoncer correctement les théorèmes. On retiendra donc simplement pour le moment que 1 n'est pas premier et qu'on peut prendre pour définition des nombres naturels premiers: Un nombre est dit 'premier' s'il possède exactement 2 diviseurs. Cette suite est infinie. Crible d'Eratosthène
Théorie des graphes Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. La théorie des graphes est une théorie informatique et mathématique. Les algorithmes élaborés pour résoudre des problèmes concernant les objets de cette théorie ont de nombreuses applications dans tous les domaines liés à la notion de réseau (réseau social, réseau informatique, télécommunications, etc.) et dans bien d'autres domaines (par exemple génétique) tant le concept de graphe, à peu près équivalent à celui de relation binaire (à ne pas confondre donc avec graphe d'une fonction), est général. De grands théorèmes difficiles, comme le théorème des quatre couleurs, le théorème des graphes parfaits, ou encore le théorème de Robertson-Seymour, ont contribué à asseoir cette matière auprès des mathématiciens, et les questions qu'elle laisse ouvertes, comme la conjecture d'Hadwiger, en font une branche vivace des mathématiques discrètes. Définition de graphe et vocabulaire[modifier | modifier le code] et relie soit vers , soit , tandis que , où . .
Les nombres premiers Si on y arrive, n est le produit de 2 nombres. Ci-dessus : 12 = 3 (lignes) x 4 (colonnes). On dit que n est un nombre composé. Si on n’y arrive pas, n ne se décompose pas en produit de deux nombres, on dit que n est un nombre premier. On voit ci-dessous que 7 est un nombre premier. Un nombre premier est donc un nombre dont ses seuls diviseurs sont 1 et lui-même. Amusez-vous à leurs trouver un diviseur autre que 1 ou eux-mêmes …! Les plus anciennes traces des nombres premiers ont été trouvées près du lac Edouard au Zaïre sur un os (de plus de 20000 ans), l’os d’Ishango, recouvert d’entailles marquant les nombres premiers 11, 13, 17 et 19. On peut supposer aussi, que par leurs travaux sur les nombres, égyptiens et babyloniens ont certainement été menés à rencontrer des nombres premiers, mais nous ne possédons aucune preuve à ce sujet. Par exemple, 28 est un nombre parfait, car 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14. C’est avec Euclide d'Alexandrie (-320? Image M.Qrius
Indicatrice d'Euler (totient) ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges Il s'agit de l'application, traditionnellement notée φ, qui à tout entier naturel n non nul associe le nombre d'entiers naturels inférieurs à n et premiers avec n : φ(n) = Card {k, k∈N, 1 ≤ k ≤ n - 1, pgcd(k,n) = 1} L'indicateur d'Euler joue un rôle important en arithmétique et tout particulièrement dans l'étude et la distribution des nombres premiers. En anglais, on parle de totient function, du latin totiens = tant de fois, proche de quotiens = combien de fois, mais d'usage interrogatif, qui a donné quotient en français et en anglais : chercher le quotient de n par p c'est chercher combien de fois "il y a p dans n". Il apparaît, et cela semble bien évident, que si n est premier, alors φ(n) = n - 1, sinon φ(n) < n - 1. Théorème 1 : Si n est premier, φ(np) = np-1(n - 1) pour tout entier naturel p ≥ 1. Théorème 2 : Remarque : Théorème 3 : Théorème 5 : Buffon
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