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Le théorème d’incomplétude de Gödel

Le théorème d’incomplétude de Gödel
C’est en cours de philo que j’en ai entendu parler pour la première fois ! Notre prof nous faisait un cours sur la logique et ses fondements, et c’est alors qu’elle le mentionna : le fameux théorème de Gödel, celui qui prouve que quoi qu’on fasse, il existe des énoncés mathématiques vrais, mais indémontrables. Les mathématiques resteront à tout jamais un édifice imparfait ! J’en fus évidemment tout retourné et fasciné : comment était-il possible qu’un truc pareil existe ? Comment prouver ce résultat pouvait même être du domaine de la science ? Peut-on tout démontrer en mathématiques ? Quand on fait des mathématiques, on manipule des énoncés. Quand on considère un énoncé mathématique, on ne sait pas forcément à l’avance s’il est vrai ou faux. Si un mathématicien arrive à démontrer un énoncé, on considère que cet énoncé est "vrai". Les mathématiques reposent donc sur l’idée que si un énoncé est vrai, alors il doit en exister une démonstration, et il n’y a plus qu’à la trouver. Like this: Related:  GodelGödel

La philosophie de Kurt Gödel Kurt Gödel constitue l'une des figures les plus marquantes de la logique mathématique au XXème siècle. Le théorème le plus célèbre de Gödel, le théorème d'incomplétude mathématique, constitue une rupture dans l'histoire des idées. Il n'est pas exagéré de dire qu'il est à la logique ce que le cogito cartésien est à la pensée: un principe par rapport auquel tout système doit prendre position. Gödel est né en 1906 à Brno. Il étudie à Vienne à partir de 1924 et établit son théorème d'incomplétude en 1930, pour le publier en 1931. Il émigre aux Etats-Unis en 1940 et occupe un poste à l'Institute for Advanced Studies. Néanmoins, Gödel ne publia quasiment rien de ses notes philosophiques. Je n'exposerais pas dans cet article l'ensemble de la philosophie gödelienne mais seulement un aperçu et quelques idées me semblant intéressantes. Les convictions de Gödel Rien n'est laissé au hasard Une idée centrale de la philosophie de Gödel est qu'il n'y a pas de hasard dans l'univers. Le platonisme

Gödel’s Incompleteness Theorem: Ontological Mathematics vs. Science | Climate of Sophistry Most people think that Gödel’s Incompleteness Theorem means something about the final answer to everything being something that can never be attained, only more and more closely approximated, because any system of logic and its axioms will always be incomplete and contain inconsistent statements inevaluable as either absolutely true or false. Similarly, Stephen Hawking wrote in the ‘Brief History of Time’ that it seemed as though science would only ever asymptote towards a final theory of everything, but never completely get there. To properly understand Gödel, it is helpful to understand his philosophical enemies, one being Bertrand Russell. Russell wished to explain mathematics and numbers as having originated, and originating in, a more fundamental set of axioms that determined the truth or falsity of mathematical statements. Basically, he wished to prove that mathematics was a creation of the human mind, that it was a convention of logic among humans. Mathematics is numbers.

Le théorème de Gödel pour les nuls Kurt Gödel, mathématicien autrichien, s'est intéressé principalement à la logique mathématique et est notamment connu pour ses preuves du théorème de complétude de la logique du premier ordre (sa thèse) et de l'incomplétude de l'arithmétique (son habilitation). Il n'y a là aucune contradiction ! Je laisse de côté la complétude, et vais me concentrer sur le résultat pour lequel il est le plus souvent cité par les non-spécialistes, à savoir l'incomplétude. Ces résultats mettant en jeu la notion de « preuve », je vais donc commencer par expliquer ce qu'est une preuve en mathématiques. La preuve mathématique En mathématiques, une preuve, ou démonstration, est un texte censé montrer qu'une conclusion s'ensuit de certaines hypothèses. Dans l'immense majorité des cas, une preuve est un texte en langue naturelle (anglais, français) mêlé de notations mathématiques. Cette preuve recèle certaines étapes implicites, certains non-dits. La notion de calcul Comprenons bien la difficulté ici. Le « meta »

Les théoremes d'incomplétude de Gödel - La tour d'ivoire de John Bonobo Wikipedia : Théorie des ensembles, Kurt Gödel, Théorème d'incomplétude de Gödel, Programme de Hilbert, La liste des 23 problèmes de Hilbert Pages personnelles : Le théorème de Gödel, la vérité n'est pas toujours prouvable par Eric Andres et Laurent Signac, What is Mathematics: Gödel's Theorem and Around par Karlis Podnieks (Université de Latvia), Kurt Gödel's ontological argument par Christopher Small (Université de Waterloo, Ontario) Qu'est-ce qu'une théorie ? Définition De manière générale, une théorie mathématique est constituée d'un langage dans lequel elle s'exprime. On appellera proposition, ou théorème une assertion vraie et prouvée, c'est à dire déduite des axiomes en appliquant les régles de déduction. Cohérence et complétude La première chose qu'on demande à une théorie est d'être cohérente (ou consistante). C'est un minimum… et pourtant, rien ne nous dit qu'il n'y a pas de contradiction dans les axiomes de la géométrie, de l'arithmétique, etc. La vérité est higher 1. 2. 5. 5 bis.

Incomplétude, Gödel, un aperçu Ce qui gêne principlement l'immense mjorité des mathématiciens, c'est qu'il existe un grand nombre de propositions intéressantes et en principe déductibles des axiomes, mais qu'on n'arrive pas à démontrer parce que leur démonstration est trop compliquée. Et cette limitation-la n'a rien à voir avec Gödel. Ce qui fait que, lorsqu'un mathématicien aborde un problème concret, il ne craint jamais — ou presque — de ne pouvoir le résoudre à cause théorème de Gödel; mais plutôt parce qu'il n'est pas assez malin. N'oubliez pas non plus que Gödel montre que certaines propositions «indécidables» sont vraies. Le formalisme ne permet pas de les démontrer, mais nous pouvons néanmoins voir qu'elles sont vraies. C'est une remarque élémentaire, mais qui est souvent oubliée par les philosophes qui aiment utiliser le théorème de Gödel pour disserter sur les limites de la connaissance. Vu ainsi, le théorème de Gödel élargit plutôt nos connaissances que le contraire.

Kurt Gödel (2 avril 1906 - 14 janvier 1978) Kurt Gödel (2 avril 1906 - 14 janvier 1978) Retour au sommaire des biographies Kurt Gödel est le mathématicien qui, de tout le XXè siècle, a le plus révolutionné les fondements logiques des mathématiques. Il était un homme tellement obsédé par la logique qu'on raconte que, alors qu'il cherchait à obtenir sa naturalisation américaine, il osa démontrer devant le juge la contradiction de certains articles de la constitution des Etats-Unis. Pourtant, il était aussi victime d'une maladie mentale, une paranoïa qui lui faisait croire qu'on cherchait à l'empoisonner, le poussa à la diète, et le fit mourir à petits feux. Kurt Gödel est né le 28 avril 1906 à Brno, à 180 kms au Sud-Ouest de Prague (empire Austro-Hongrois, actuellement République Tchèque). Les mathématiciens contemporains de Gödel (né en 1906) Les entrées du Dicomaths correspondant à Gödel

Le théorème de Gödel et ses non-interprétations Je donne ici plusieurs manières précises d'énoncer le théorème d'incomplétude de Gödel, ainsi qu'une esquisse de démonstration. J'essaierai ensuite de traiter rigoureusement quelques interprétations couramment avancées de ce théorème. Pour lire ce texte, il n'est pas nécessaire d'avoir une formation spécifique en logique mathématique. Ce texte existe aussi au format ps gzippé et au format pdf. Le théorème d'incomplétude de Gödel Très brefs rappels de logique On considère un système formel S, c'est-à-dire qu'on se donne un ensemble d'axiomes, et qu'on raisonne sur ces axiomes avec la logique usuelle. . La première chose à noter est que l'indécidabilité n'a rien d'extraordinaire. Plus précisément, un théorème de complétude de Gödel (qui malheureusement reçoit moins de publicité que son théorème d'incomplétude) précise que si une proposition est indécidable, alors il existe un modèle où elle est vraie et un modèle où elle est fausse. Un énoncé du théorème d'incomplétude Comment faire cela ?

Petit résumé du théorème de Gödel Petit résumé du théorème de Gödel 15 juin 2002 (cf. Complexité et complication) Le théorème de Gödel [Gödel] a été publié en 1931. Russell et Whitehead avaient tenté de fonder l'ensemble de la logique sur une base axiomatique. Cette découverte a été déchirante pour beaucoup de mathématiciens. La démonstration de Gödel est très technique et sa lecture est difficile. 1) Supposons qu’il existe une Théorie Complète (TC) fondée sur un nombre fini d'axiomes et permettant, si l’on considère une phrase quelconque, de décider sans jamais se tromper si cette phrase est vraie ou non. 2) Considérons la phrase « TC ne dira jamais que la présente phrase est vraie ». 3) Soumettons G à TC et demandons à TC de dire si G est vraie ou non. 4) Si TC dit que G est vraie, alors G est fausse. 5) Si « TC ne dit jamais que G est vraie », G est vraie. Ce raisonnement rappelle le paradoxe fameux qui met en scène un Crétois disant : « Les Crétois ne disent que des mensonges ». Retour à "Sortir de l'embarras"

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