Équilibre de Nash. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Dans la théorie des jeux, l'équilibre de Nash, nommé d'après John Forbes Nash, est un concept de solution dans lequel l'ensemble des choix faits par plusieurs joueurs, connaissant leurs stratégies réciproques, est devenu stable du fait qu'aucun ne peut modifier seul sa stratégie sans affaiblir sa position personnelle. Origine de la notion[modifier | modifier le code] Un jeu est un cadre formel où plusieurs agents décident d'une stratégie, sachant que leur utilité dépend des choix de tous.
Avant Nash, la détermination de situation stable n'avait pas de méthode formelle, même si l'existence d'équilibres pour les jeux à somme nulle et à deux joueurs était connue depuis 1926, via le théorème du minimax de von Neumann. Théorie des jeux. La théorie des jeux est un domaine des mathématiques qui s'intéresse aux interactions stratégiques des agents (appelés « joueurs »).
Les fondements mathématiques de la théorie moderne des jeux sont décrits autour des années 1920 par Ernst Zermelo dans l'article Über eine Anwendung der Mengenlehre auf die Theorie des Schachspiels, et par Émile Borel dans l'article « La théorie du jeu et les équations intégrales à noyau symétrique ». Ces idées sont ensuite développées par Oskar Morgenstern et John von Neumann en 1944 dans leur ouvrage Theory of Games and Economic Behavior qui est considéré comme le fondement de la théorie des jeux moderne. Il s'agissait de modéliser les jeux à somme nulle où la somme des gains entre les joueurs est toujours égale à zéro. La théorie des jeux devient dès ce moment un outil théorique important de la microéconomie.
Depuis 1944, 11 prix Nobel d'économie ont été décernés à des économistes pour leurs recherches sur la théorie des jeux. . . , gain du joueur. Jeu à somme nulle. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Un jeu de somme nulle est un jeu où la somme des gains de tous les joueurs est égale à 0. Par exemple si l’on définit le gain d’une partie d’échecs comme 1 si on gagne, 0 si la partie est nulle et -1 si on perd, le jeu d’échecs est un jeu à somme nulle. En économie, cette notion simplificatrice est importante : les jeux à somme nulle correspondent à l’absence de production ou de destruction de produits. En 1944, John von Neumann et Oskar Morgenstern ont démontré que tout jeu à somme nulle pour n personnes n’est en fait qu’une forme généralisée de jeux à somme nulle pour deux personnes, et que tout jeu à somme non nulle pour n personnes peut se ramener à un jeu à somme nulle pour n + 1 personnes, la n+1-ième personne représentant le gain ou la perte globale.
Robert Wright. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Pour les articles homonymes, voir Wright. Bibliographie[modifier | modifier le code] (fr) Robert Wright, L'Animal moral, Gallimard, 2005 (ISBN 2070428559)(en) Robert Wright, Three Scientists and Their Gods: Looking for Meaning in an Age of Information, HarperCollins, 1989 (ISBN 0-06-097257-2)(en) Robert Wright, The Moral Animal: Why We Are the Way We Are: The New Science of Evolutionary Psychology, Vintage Books, 1994 (ISBN 0-679-76399-6)(en) Robert Wright, Nonzero: The Logic of Human Destiny, Vintage, 2001 (ISBN 0-679-75894-1)(en) Robert Wright, The Evolution of God, Little, Brown and Company, 2009 (ISBN 0-316-73491-8) Classification des jeux. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
La classification des jeux est une opération délicate qui présente de sérieuses difficultés. De nombreuses tentatives ont été faites depuis plusieurs siècles : Dilemme du prisonnier. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Le dilemme du prisonnier, énoncé en 1950 par Albert W. Tucker à Princeton caractérise en théorie des jeux une situation où deux joueurs auraient intérêt à coopérer, mais où, en absence de communication entre les deux joueurs, chaque joueur choisira de trahir l'autre lorsque le jeu n'est joué qu'une fois. La raison à cela est que si un coopère et l'autre trahit, le coopérateur est fortement pénalisé. Pourtant si les deux joueurs trahissent, le résultat leur est moins favorable que si les deux avaient choisi de coopérer. Lorsque le jeu est joué plusieurs fois de suite, il sert d'illustration au folk theorem (en) voulant que toutes les issues du jeu peuvent être des équilibres d'un jeu répété un assez grand nombre de fois. Il a donné naissance à des jeux d'économie expérimentale testant la rationalité économique des joueurs et leur capacité à identifier l'équilibre de Nash d'un jeu.
Problème des marchands de glaces. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Le modèle de Hotelling est utilisé en économie industrielle, en théorie des jeux, et en économie géographique. Le problème des marchands de glace[modifier | modifier le code] Le problème des marchands de glace est un exemple célèbre de la théorie des jeux, et une approche simplifiée du modèle de Hotelling. Énoncé[modifier | modifier le code] Deux marchands de glace doivent choisir un emplacement sur une plage où les clients sont répartis uniformément. On suppose les prix et produits des marchands identiques (la différentiation ne porte que sur l'emplacement des marchands, c'est-à-dire que les biens ne sont distincts que du fait des coûts de transport), de sorte que chaque client se dirige systématiquement vers le marchand le plus proche.
La question est double. Équilibre[modifier | modifier le code] Du coup, les deux marchands se rapprochent spontanément du milieu de la plage, jusqu'à s'y trouver tous les deux (ci-dessous, gauche) . . $ par unité. Diagramme de Voronoï. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Histoire[modifier | modifier le code] On peut faire remonter l’usage informel des diagrammes de Voronoï jusqu'à Descartes en 1644 dans Principia philosophiae comme illustration de phénomène astronomique [1]. Dirichlet a utilisé des diagrammes de Voronoï en dimension 2 ou 3 dans son étude des formes quadratiques en 1850 (Dirichlet 1850). En 1854, le médecin britannique John Snow a utilisé le diagramme de Voronoï des pompes pour montrer que la majorité des personnes mortes dans l’épidémie de choléra de Soho se trouvaient dans la cellule de la pompe à eau de Broad Street, donc qu'ils vivaient plus près de cette pompe que de n’importe quelle autre pompe[2].
Il a ainsi démontré que le foyer de l'infection était cette pompe. Les diagrammes de Voronoï portent le nom du mathématicien russe Georgy Fedoseevich Voronoï (ou Voronoy) qui a défini et étudié le cas général en dimension n en 1908.