Poincaré. Eq Diff - Géométries non Euclidiennes - Ft de Fusch... À télécharger Cours sur la théorie de Galois. "Les maths ne sont qu'une histoire de groupe" - Etienne Ghys. Groupe (mathématiques) Vidéo de la conférence d'Étienne Ghys. Homologie et cohomologie. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Généralités[modifier | modifier le code] Complexe de chaînes[modifier | modifier le code] Un complexe de chaînes est la donnée d'une suite de groupes abéliens ou plus généralement d'objets d'une catégorie abélienne et d'une famille d'homomorphismes, appelés opérateurs de bord , telle que : . S'appellent des chaînes de degré . S'appellent des cycles. Sont alors, par définition : Homologie des groupes. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
En algèbre homologique, l'homologie d'un groupe est un invariant attaché à ce groupe. Pour un groupe G, on note ℤ[G] l'algèbre du groupe G. Soient alors M un ℤ[G]-module (ce qui revient à se donner un groupe abélien M et un morphisme de G dans le groupe des automorphismes de M), et une résolution projective de M. Groupe de Galois. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Évariste Galois 1811-1832 Si l'extension possède de bonnes propriétés, c’est-à-dire si elle est séparable et normale, on parle alors d'extension de Galois et les hypothèses du théorème fondamental de la théorie de Galois sont réunies. Il existe alors une bijection entre les sous-corps de L et les sous-groupes du groupe de Galois Gal(L/K). Histoire[modifier | modifier le code] Genèse[modifier | modifier le code] Niels Abel 1802-1829. Théorème fondamental de la théorie de Galois. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
En mathématiques et plus précisément en algèbre commutative, le théorème fondamental de la théorie de Galois établit une correspondance entre les extensions intermédiaires d'une extension finie de corps et leurs groupes de Galois, dès lors que l'extension est galoisienne, c’est-à-dire séparable et normale. Programme de Langlands. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
En mathématiques, le programme de Langlands est encore, au début du XXIe siècle, un domaine de recherche actif et fertile en conjectures. Ce programme souhaite relier la théorie des nombres aux représentations de certains groupes. Il a été proposé par Robert Langlands en 1967. Relation avec la théorie des nombres[modifier | modifier le code] La première étape du programme, réalisée bien avant les travaux de Langlands, peut être vue comme la théorie des corps de classes. Pour les groupes de Galois non-abéliens et pour leurs représentations de dimensions plus élevées, on peut encore définir les fonctions L d'une manière naturelle : les fonctions L d'Artin.
Le contexte des représentations automorphes[modifier | modifier le code] Images des mathématiques - Les travaux de Ngô Bao Châu. Groupe de Lie. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Les groupes de Lie sont nommés ainsi en l'honneur du mathématicien norvégien Sophus Lie, qui les introduisit afin d'étudier certaines propriétés des équations différentielles. La théorie de groupes de Lie décrit la symétrie continue (en) en mathématiques ; là et en physique théorique (par exemple dans la théorie des quarks), son importance s'est affirmée au cours du XXe siècle. Histoire[modifier | modifier le code] Sophus Lie lui-même considérait que la théorie des « groupes continus » (au sens actuel de groupes topologiques) était née lors de l'hiver 1873-1874, mais le biographe Hawkins suggère que la théorie est née des recherches effectuées par Lie durant les quatre années précédentes (de 1869 à 1873).
Une partie des idées initiales de Lie furent développées en collaboration avec Felix Klein, qu'il rencontrait quotidiennement durant les jours d'octobre des années 1869 à 1872, à Berlin d'abord, puis Paris, Gőttingen et Erlangen. (où on note . Groupe de Lie E8 clé théorie des supercordes. Le mathématicien Fokko du Cloux.
Groupe de Lie E8 : une clé pour la théorie des supercordes ? - 5 Photos Figure géométrique dont la complexe symétrie est codée par le groupe de Lie E8 (Crédit : AIM). Si vous demandez à des mathématiciens professionnels ce qu'est le groupe de Lie E8, bien peu seront capables de vous répondre. Même si la théorie des groupes fait partie du bagage de tout mathématicien compétent, c'est un immense sujet avec des ramifications multiples. Auguste Comte, l'avait déjà dit, on ne connaît pas une science tant qu'on n'en sait pas l'histoire, on va donc faire un petit tour dans le passé. Un peu d'histoire La théorie des groupes remonte aux travaux d'Evariste Galois.
Le problème est, qu'appliquées aux différents phénomènes du monde, elles peuvent donner lieu à des milliards de milliards d'équations différentielles différentes, ou au contraire identiques mais écrites sous une forme ne permettant pas de les reconnaître. Le mathématicien Sophus Lie. Pourquoi cela ?