Le théorème de Gödel pour les nuls. Kurt Gödel, mathématicien autrichien, s'est intéressé principalement à la logique mathématique et est notamment connu pour ses preuves du théorème de complétude de la logique du premier ordre (sa thèse) et de l'incomplétude de l'arithmétique (son habilitation).
Il n'y a là aucune contradiction ! Je laisse de côté la complétude, et vais me concentrer sur le résultat pour lequel il est le plus souvent cité par les non-spécialistes, à savoir l'incomplétude. Ces résultats mettant en jeu la notion de « preuve », je vais donc commencer par expliquer ce qu'est une preuve en mathématiques. La preuve mathématique En mathématiques, une preuve, ou démonstration, est un texte censé montrer qu'une conclusion s'ensuit de certaines hypothèses. Dans l'immense majorité des cas, une preuve est un texte en langue naturelle (anglais, français) mêlé de notations mathématiques. Cette preuve recèle certaines étapes implicites, certains non-dits. La notion de calcul Comprenons bien la difficulté ici. Le « meta » La philosophie de Kurt Gödel. Kurt Gödel constitue l'une des figures les plus marquantes de la logique mathématique au XXème siècle.
Le théorème le plus célèbre de Gödel, le théorème d'incomplétude mathématique, constitue une rupture dans l'histoire des idées. Il n'est pas exagéré de dire qu'il est à la logique ce que le cogito cartésien est à la pensée: un principe par rapport auquel tout système doit prendre position. Gödel est né en 1906 à Brno. Il étudie à Vienne à partir de 1924 et établit son théorème d'incomplétude en 1930, pour le publier en 1931. Il émigre aux Etats-Unis en 1940 et occupe un poste à l'Institute for Advanced Studies.
Néanmoins, Gödel ne publia quasiment rien de ses notes philosophiques. Je n'exposerais pas dans cet article l'ensemble de la philosophie gödelienne mais seulement un aperçu et quelques idées me semblant intéressantes. Les convictions de Gödel Rien n'est laissé au hasard Une idée centrale de la philosophie de Gödel est qu'il n'y a pas de hasard dans l'univers. Le platonisme. Le théorème d’incomplétude de Gödel. C’est en cours de philo que j’en ai entendu parler pour la première fois !
Notre prof nous faisait un cours sur la logique et ses fondements, et c’est alors qu’elle le mentionna : le fameux théorème de Gödel, celui qui prouve que quoi qu’on fasse, il existe des énoncés mathématiques vrais, mais indémontrables. Les mathématiques resteront à tout jamais un édifice imparfait ! J’en fus évidemment tout retourné et fasciné : comment était-il possible qu’un truc pareil existe ? Comment prouver ce résultat pouvait même être du domaine de la science ?
Peut-on tout démontrer en mathématiques ? Quand on fait des mathématiques, on manipule des énoncés. Quand on considère un énoncé mathématique, on ne sait pas forcément à l’avance s’il est vrai ou faux. Si un mathématicien arrive à démontrer un énoncé, on considère que cet énoncé est "vrai". Les mathématiques reposent donc sur l’idée que si un énoncé est vrai, alors il doit en exister une démonstration, et il n’y a plus qu’à la trouver. Like this: Le théorème d'incomplétude de Godel - PS n°92. Gödel’s Incompleteness Theorem: Ontological Mathematics vs. Science. Most people think that Gödel’s Incompleteness Theorem means something about the final answer to everything being something that can never be attained, only more and more closely approximated, because any system of logic and its axioms will always be incomplete and contain inconsistent statements inevaluable as either absolutely true or false.
Similarly, Stephen Hawking wrote in the ‘Brief History of Time’ that it seemed as though science would only ever asymptote towards a final theory of everything, but never completely get there. To properly understand Gödel, it is helpful to understand his philosophical enemies, one being Bertrand Russell. Russell wished to explain mathematics and numbers as having originated, and originating in, a more fundamental set of axioms that determined the truth or falsity of mathematical statements. Basically, he wished to prove that mathematics was a creation of the human mind, that it was a convention of logic among humans.