Kategorie:Kategorientheorie. Groupoid. In mathematics , especially in category theory and homotopy theory , a groupoid (less often Brandt groupoid or virtual group ) generalises the notion of group in several equivalent ways. A groupoid can be seen as a: Special cases include: Setoids , that is: sets that come with an equivalence relation ; G-sets , sets equipped with an action of a group G .
Groupoids are often used to reason about geometrical objects such as manifolds . Heinrich Brandt introduced groupoids implicitly via Brandt semigroups in 1926. [ 3 ] Definitions [ edit ] Algebraic [ edit ] A groupoid is a set G with a unary operation and a partial function Here * is not a binary operation because it is not necessarily defined for all possible pairs of G -elements. And −1 have the following axiomatic properties.
Associativity : If a * b and b * c are defined, then ( a * b ) * c and a * ( b * c ) are defined and equal. In short: ( a * b ) * c = a * ( b * c ); ∀a ∃ a −1 * a ∃ a * a −1 ; a * b * b −1 = a and a −1 * a * b = b . and . Gruppoid (Kategorientheorie) Kategorientheorie. Bedeutung[Bearbeiten] Aufgrund ihres hohen Grades an Abstraktion wird die Kategorientheorie gelegentlich – selbst von den Mathematikern, die sie entwickelten – als allgemeiner Unsinn bezeichnet.[1][2] Definitionen[Bearbeiten] Kategorie[Bearbeiten] Eine Kategorie besteht aus folgendem: die im offensichtlichen Sinne assoziativ sind: sofern und (Gelegentlich wird das weggelassen und als angeschrieben.) einem Identitätsmorphismus zu jedem Objekt , der neutrales Element für die Verknüpfung mit Morphismen mit Quelle oder Ziel ist, d. h. es gilt , falls ist, und , falls .
Die Klasse aller Morphismen wird auch mit oder bezeichnet (von englisch arrow, französisch flèche, deutsch Pfeil). Unterkategorie[Bearbeiten] Eine Unterkategorie einer Kategorie ist eine Kategorie , so dass eine Teilklasse von ist und für je zwei Objekte in die Morphismenmenge Teilmenge von ist. Gleich denen von , ist eine volle Unterkategorie. Duale Kategorie[Bearbeiten] Die duale Kategorie zu einer Kategorie ist die Kategorie mit .
Ist gleich mit nach. Category theory. A category with objects X, Y, Z and morphisms f, g, g ∘ f, and three identity morphisms (not shown) 1X, 1Y and 1Z. Several terms used in category theory, including the term "morphism", differ from their uses within mathematics itself. In category theory, a "morphism" obeys a set of conditions specific to category theory itself. Thus, care must be taken to understand the context in which statements are made. An abstraction of other mathematical concepts[edit] The most accessible example of a category is the category of sets, where the objects are sets and the arrows are functions from one set to another. The "arrows" of category theory are often said to represent a process connecting two objects, or in many cases a "structure-preserving" transformation connecting two objects.
Categories now appear in most branches of mathematics, some areas of theoretical computer science where they can correspond to types, and mathematical physics where they can be used to describe vector spaces. Category theory.