Produit infini. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
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Il permet de mesurer la répartition des nombres premiers et est intimement lié à la fonction zêta de Riemann. Il est nommé en l'honneur du mathématicien suisse Leonhard Euler. Travaux d'Euler[modifier | modifier le code] Calcul d'Euler[modifier | modifier le code] Euler cherche à évaluer la répartition des nombres premiers p1 = 2, p2 = 3, …. Qu'il appelle fonction zêta[réf. nécessaire], et il établit la formule suivante : Sa définition et sa formule sont en fait valides sur tout le demi-plan des complexes de partie réelle strictement supérieure à 1.
Euler parvient par ailleurs à résoudre le problème de Mengoli, qui consiste à déterminer la valeur de . Fibonacci number system. Every positive integer can be written as the sum of distinct Fibonacci numbers.
For example, 10 = 8 + 2, the sum of the fifth Fibonacci number and the second. This decomposition is unique if you impose the extra requirement that consecutive Fibonacci numbers are not allowed. [1] It’s easy to see that the rule against consecutive Fibonacci numbers is necessary for uniqueness. It’s not as easy to see that the rule is sufficient. Fraction continue. En mathématiques, une fraction continue ou fraction continue simple ou plus rarement fraction continuée[1] est une expression de la forme : comportant un nombre fini ou infini d'étages.
On montre qu'on peut « représenter » — en un sens qui sera précisé — tout nombre réel sous forme d'une fraction continue, finie ou infinie, dans laquelle a0 est un entier relatif et les autres aj sont des entiers strictement positifs. Comme dans la notation décimale usuelle, où chaque réel est approché par des nombres décimaux de plus en plus précisément au fur et à mesure de la donnée des décimales successives, de même chaque réel est approché par des fractions étagées de la forme ci-dessus de plus en plus précisément au fur et à mesure qu'on rajoute des étages.
En outre, s'il faut une infinité de décimales pour décrire exactement un nombre non décimal, il faut un développement infini en fraction continue pour décrire exactement un nombre irrationnel. Suite de Fibonacci. La suite est définie par et pour n > 1. Cette suite est liée au nombre d'or, φ (phi) : ce nombre intervient dans l'expression du terme général de la suite. Inversement, la suite de Fibonacci intervient dans l'écriture des réduites de l'expression de φ en fraction continue : les quotients de deux termes consécutifs de la suite de Fibonacci sont les meilleures approximations du nombre d'or. Histoire[modifier | modifier le code] En Inde[modifier | modifier le code] Population de lapins[modifier | modifier le code] Une page de Liber Abaci de Fibonacci à la bibliothèque nationale de Florence. La suite doit son nom à Leonardo Fibonacci qui, dans un problème récréatif posé dans l'ouvrage Liber abaci publié en 1202, décrit la croissance d'une population de lapins :
Suite récurrente linéaire. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. par une relation de récurrence linéaire de la forme où sont p scalaires fixés de K ( non nul).
Une telle suite est entièrement déterminée par la donnée de ses p premiers termes et par la relation de récurrence. Les suites récurrentes linéaires d’ordre 1 sont les suites géométriques. L'étude des suites récurrentes linéaires d'ordre supérieur se ramène à un problème d'algèbre linéaire. Son degré est ainsi égal à l'ordre de la relation de récurrence. Suite récurrente linéaire d’ordre 1[modifier | modifier le code] Les suites récurrentes linéaires d'ordre 1 sont les suites géométriques.
Si la relation de récurrence est , le terme général est Suite récurrente linéaire d’ordre 2[modifier | modifier le code] a et b étant deux scalaires fixés de K avec b non nul, la relation de récurrence est On va prouver que le terme général d'une telle suite à valeurs dans K, est si et sont deux racines distinctes (dans K) du polynôme , si est racine double du polynôme , Série formelle. Une construction formelle[modifier | modifier le code] une suite (an)n≥0 d'éléments de R, lorsqu'elle est considérée comme un élément de R[[X]], se note[3] ∑n≥0 anXn ;l'addition de deux suites se fait terme à terme : ;le produit de deux suites, appelé produit de Cauchy, est défini par : (c'est une sorte de produit de convolution discret).
Ces deux opérations font de R[[X]] un anneau commutatif. Propriétés[modifier | modifier le code] Propriétés algébriques[modifier | modifier le code] The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences® (OEIS®)