Fondation Vasarely - Aix-en-Provence - Centre architectonique - France VICTOR VASARELY est un plasticien tout à fait singulier dans l’histoire de l’art du XXème siècle. Accédant à la notoriété de son vivant, il se distingue dans l’art contemporain par la création d’une nouvelle tendance : l’art optique. Son œuvre s’inscrit dans une grande cohérence, de l’évolution de son art graphique jusqu’à sa détermination pour promouvoir un art social, accessible à tous. Victor Vasarely naît à Pécs en Hongrie en 1906. En 1929, il entre au Muhëly, connu comme étant l’école du Bauhaus de Budapest. A cette époque, le gouvernement hongrois commence à associer les différents mouvements avant-gardistes au mouvement progressiste qui se développait en politique. Vers l’abstraction > Durant cette période graphique (1929-1946), Vasarely pose les fondements esthétiques de sa recherche plastique et « le répertoire de base de (sa) période cinétique abstraite en plan ». Entre 1935 et 1947, Vasarely redécouvre la peinture. Expérience cinétique > Le Père de l’Op art >
Infini histoire Quand est apparue la notion d'infini? À quel âge un enfant peut-il apprécier cette notion? Et, à l'origine des temps? Très difficile à s'imposer dans l'histoire, cette notion renvoyait à Dieu Tout-Puissant. Le monde fini a été créé pour l'homme. Les Grecs Ve siècle av. VIe siècle av. IVe siècle av. Problème: l'infini n’ayant pas de limite, il ne peut être déterminé. Dilemme: si une quelque chose est infini, ses parties devraient, elles aussi, être infinies. Aristote conclut que l'infini physique ou actuel n'existe pas, il est seulement pensable comme infini potentiel, comme quantité qui augmente ou diminue sans fin. IXe s. Thabit ibn Qurra: un infini peut être plus grand qu’un autre. Au XIIe siècle Bhaskara ou Bhaskaracharya (1114 – 1185) n'hésite pas à faire de l'arithmétique avec l'infini: infini + n = infini; n divisé par 0 = infini … Moyen-âge - Europe Infini comme l'Être suprême, le Dieu, parfait et omnipotent
DES ONDES DANS MON BILLARD, PARTIE I L’équation des ondes décrit par exemple le mouvement de vagues de faible amplitude dans une étendue d’eau, ou encore les petites vibrations de la membrane d’un tambour. Les vagues et les vibrations sont des exemples de mouvements oscillatoires autour d’une position d’équilibre : une étendue d’eau parfaitement plane dans le premier cas, et une membrane immobile dans le second. Pourquoi seulement les petites vagues ou vibrations ? Parce que si l’on agite faiblement un système au repos, sa réaction est en général proportionnelle à la force avec laquelle on l’agite, mais cela n’est plus vrai pour de fortes perturbations. Si je laisse tomber deux cailloux dans un étang, le second deux fois plus gros que le premier, celui-ci engendrera des vagues deux fois plus grosses. Mais si je jette un rocher dans l’étang, je vais créer des vagues déferlantes. On peut tout de suite faire deux observations. Un autre exemple de forme admettant beaucoup de symétries est l’hexagone : Mécanique quantique
Epicycles de Ptolémée Epicycles de Ptolémée Pour les grecs depuis Aristote (−385, −322) la Terre était le centre du Monde. Seul Aristarque de Samos (−310, −230) avait envisagé un système héliocentrique. La Terre est le centre du Monde et seuls sont possibles les mouvements rectilignes et circulaires uniformes étaient deux dogmes. Mais ces dogmes posaient aux observateurs du ciel un problème majeur : Comment expliquer les boucles des planètes ? Ptolémée a eu l'idée des épicycles. Utilisation : La partie gauche du schéma représente dans le système héliocentrique le mouvement de la Terre (en bleu) et d'une planète hypothétique (en jaune) qui mettrait exactement trois années terrestre pour parcourir son orbite. Le slider rouge permet de modifier le rapport des vitesses de rotation entre l'épicycle et le déférent. Le slider vert permet de modifier le rayon de l'épicycle. Le bouton [Départ] permet de lancer l'animation la pause et la reprise de l'animation..
Le nombre d'or (Vitruve, architecte romain 1er siècle avant notre ère). Ainsi si a et b sont les deux grandeurs alors nous aurons : a/b = (a + b) / a. a/b = 1 + b/a pour simplifier, prenons comme variable x = a/b. alors nous obtenons : x = 1 + 1/x x - 1 - 1/x = 0 comme x non nul, nous obtenons l'équation suivante que nous noterons (E) : x2 - x - 1 = 0 qui admet comme racine positive : x = que nous notons Φ et vaut à peu près 1,618... C'est cette valeur qui est appelée le nombre d'or (dit Φ (phi) en hommage au sculpteur grec Phidias qui s'en servit dans les proportions du Parthénon à Athènes. A ce stade, je vous soumets un petit problème que m'a proposé Dominique Payeur : Je dispose d'un capital. Nous pouvons d'ores et déjà noter quelques résultats : On pourrait aussi sans équation du second degré montrer que 1/Φ = Φ - 1. Des équations précédentes, nous pouvons déduire : x2 = x + 1 et x = 1 + 1/x d'où et on a aussi : Le nombre d’or peut s’écrire à l’aide d’une infinité de radicaux emboîtés Les FRACTIONS
UN PLANIMÈTRE À CÔNE (sans rapport direct mais marrant aussi) Parmi les machines mathématiques qui furent exposées, on trouve ce magnifique planimètre à cône, remontant au dix-neuvième siècle. Il permet de mesurer l’aire sous une courbe, comme nous allons l’expliquer ici. Bien sûr, on n’en trouve plus dans les bureaux d’étude d’aujourd’hui ! D’autres planimètres bien plus efficaces ont été inventés par la suite et à l’avenir nous ne résisterons probablement pas au plaisir d’en décrire d’autres pour Images des Maths. Mais son fonctionnement, si simple et si astucieux, permet une meilleure compréhension des concepts d’aire et d’intégrale. Aujourd’hui, pour mesurer la superficie de son jardin, il suffit d’utiliser google maps sur ce site. Voici une courbe, qui est le graphe d’une certaine fonction définie sur un certain intervalle . On la suppose tracée sur une feuille de papier et on se propose de calculer mécaniquement l’aire de la zone sous la courbe, représentée en bleu sur la figure. L’aire totale de ces rectangles est donc Le planimètre à cheveux
Parabolas are just the product of straight lines Parabolas are just the product of straight lines Create AccountorSign In «1x» «2x» «0.35x» «0.5x» powered by powered by functions $$π Create AccountorSign In to save your graphs! + New Blank Graph Examples Lines: Slope Intercept Form example Lines: Point Slope Form example Lines: Two Point Form example Parabolas: Standard Form example Parabolas: Vertex Form example Parabolas: Standard Form + Tangent example Trigonometry: Period and Amplitude example Trigonometry: Phase example Trigonometry: Wave Interference example Trigonometry: Unit Circle example Conic Sections: Circle example Conic Sections: Parabola and Focus example Conic Sections: Ellipse with Foci example Conic Sections: Hyperbola example Polar: Rose example Polar: Logarithmic Spiral example Polar: Limacon example Polar: Conic Sections example Parametric: Introduction example Parametric: Cycloid example Transformations: Translating a Function example Transformations: Scaling a Function example Transformations: Inverse of a Function example
Le nombre d'or Fruits d'Eucalyptus provenant de Galice en Espagne. On trouve des pentagones réguliers, mais aussi des carrés er des triangles équilatéraux. Lien avec l'ensoleillement Cela vient de ce que l'ensoleillement doit être maximum pour toutes les feuilles et on démontre que l'angle de deux feuilles consécutives doit être voisin d'un certain k ème de tour ; les fractions de Fibonacci sont les fractions les plus voisines de k. Les graines dans une fleur de tournesol Ammonite L'enroulement régulier d'une ammonite se fait suivant une spirale logarithmique. La découverte des quasicristaux, de molécules en forme de dodécaèdre (constitué de 12 pentagones), de certains virus ayant cette forme montre que la symétrie d'ordre cinq est assez fréquente dans la nature. " On doit être chez Fibonacci ! voir aussi les liens externes suivants : géométrie dans la nature et aussi une vidéo splendide La nature par les nombres Un Aloés : Aloe polyphylla,
Ellipsographes Ellipsographes Un ellipsographe est un dispositif mécanique utilisé pour tracer des ellipses. Il en existe de nombreux modèles et ce programme en présente quatre modèles différents. L'ellipsographe d'Archimède est constitué par une barre rigide AB (AB = L). Un crayon C est fixé sur la barre AB (AC = B). La barre mobile est fixée en A et B à deux coulisseaux qui se déplacent dans deux glissières fixes et orthogonales. L'ellipsographe de de l'Hospital est constitué comme celui d'Archimède mais l'angle entre les deux glissières est quelconque. L'ellipsographe de van Schooten est constitué par deux barres rigides AC et OB, articulées l'une par rapport à l'autre en B. La méthode du jardinier utilise la définition géométrique de l'ellipse qui est le lieu des points dont la somme des distances à deux points fixes (foyers) est constante. Utilisation : La liste de choix permet la sélection d'un modèle d'ellipsographe.
Utiliser le mode polaire de la calculatrice. Taper... 1 Googol est très grand nombre à l'origine du nom google Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. Pour les articles homonymes, voir Gogol. Visualisation d'un gogol. En mathématiques, un gogol (parfois orthographié googol) est l'entier naturel dont la représentation décimale s'écrit avec le chiffre 1 suivi de 100 zéros (soit 10100)[1] : Ce nombre équivaut à dix sexdécilliards. Le mot gogol est cité pour la première fois en anglais, googol, par le mathématicien américain Edward Kasner dans son livre Mathematics and the Imagination paru en 1938. Le gogol est approximativement égal à la factorielle 70. Ses facteurs premiers sont seulement 2 et 5. Kasner l'a créé afin d'illustrer la différence entre un nombre grand et l'infini. Il faut au minimum 333 bits pour représenter ce nombre (2332 – 1, le plus grand nombre sur 332 bits, est approximativement égal à 0,87×10100, donc inférieur à 1 gogol). 10gogol (un chiffre 1 suivi d'un gogol de zéros) est nommé le gogolplex. Arithmétique et théorie des nombres
LA SCIENCE DES TROUS Saisir La topologie est une discipline des mathématiques, des plus fondamentales, et néanmoins non scolaire. Il est vrai qu’elle est davantage concernée par les traits de forme des objets nous éveillant au monde, que par ceux des objets traditionnellement étudiés, à un niveau élémentaire, dans l’enseignement des mathématiques. Donner à un bébé l’un ou l’autre cube en carton trainant dans l’armoire d’une classe d’école, en lieu et place de ces drôles d’objets illustrés ci-dessus, sera source de frustration chez lui — et de fatigue chez ses parents. Et pourquoi donc ? Ce trait de forme s’appelle tantôt un trou, tantôt une anse, ou comme vous voudrez : le fait est que cette notion n’est, quant à elle, pas facile à saisir, assez curieusement. Naturellement, vous penserez qu’il convient de s’entendre au préalable sur ce que sont des trous pour les compter. Vous seriez-vous seulement demandé ce que sont des trous avant de douter de leur nombre, comme cet enfant dans le clip ? Compter Continuité
Coordonnées polaires Comme il s’agit d’un système bidimensionnel, chaque point est déterminé par ses deux coordonnées polaires, la coordonnée radiale et la coordonnée angulaire. La coordonnée radiale (souvent notée r ou ρ, et appelée rayon) exprime la distance du point à un point central appelé pôle (équivalent à l’origine des coordonnées cartésiennes). La coordonnée angulaire (également appelée angle polaire ou azimut, et souvent notée θ ou t) exprime la mesure, dans le sens trigonométrique (sens positif), de l’angle entre le point et la demi-droite d’angle 0°, appelée axe polaire[a]. Il existe plusieurs versions de l’introduction des coordonnées polaires comme système de coordonnées formel. Le terme actuel de coordonnées polaires a été attribué à Gregorio Fontana et a été utilisé par les écrivains italiens du XIIIe siècle. Par exemple, le point de coordonnées polaires (3 ; 60°) sera placé à trois unités de distance du pôle sur la demi-droite d’angle 60°. On peut aussi utiliser la fonction atan2 : s'écrit et
le nombre pi pi Qui a inventé la notation La notation est due à Adrien Romain , au XVIe siècle . car c’est la première lettre du mot grec « » ( se lit « peripheria ») qui signifie circonférence . Qui a calculé les décimales de et comment ? C’est Archimède , mathématicien grec , qui a trouvé une méthode pour calculer les décimales de En calculant le rapport entre le périmètre d’un cercle et son diamètre ( le périmètre étant mesuré à l’aide d’une ficelle ). Il s’aperçut qu’on trouvait toujours le même nombre à quelques décimales près . Archimède prit donc le cas du cercle de diamètre 1 ( dans ce cas , le périmètre est égal à ) ; il a « encadré » le cercle par deux polygones à 96 côtés , et il a calculé le périmètre de ces deux polygones . Ainsi , vers 250 avant JC , il montre que est compris entre et Grâce à sa méthode , on a pu déterminer les décimales de En 1949 , le premier ordinateur , l'ENIAC, calcula 2000 décimales de en 70 heures . ü Méthode d’Archimède pour calculer les décimales de circonscrits à ce cercle . n