Disque d'Euler : un mouvement super bizarre qui fait tourner les têtes Dans cette vidéo, Balade Mentale nous présente un étrange objet à l’allure de palet de hockey : le disque d’Euler. D’où nous provient cette invention ? Elle tire ses origines de la fascination de Joseph Bendik, ingénieur en aérospatial, pour le mouvement des pièces de monnaie lorsqu’elles tombent sur le sol. Bien inspiré, le scientifique invente un disque tournant sans glisser sur une surface entièrement lisse (comme un miroir). Petit aperçu sur un objet qui a fait tourner en bourrique plus d’un mathématicien ! Balade Mentale est une chaine de contenu culturel.
Simulez des systèmes physiques avec la méthode d'Euler En sciences, de nombreux phénomènes sont décrits par des équations différentielles dont la résolution exacte est parfois impossible ou peu intéressante. On laisse alors de côté les méthodes analytiques pour travailler directement avec des nombres, en utilisant ce qu’on appelle des méthodes numériques de résolution d’équations différentielles. Ces méthodes permettent notamment de simuler des systèmes physiques, ce qui en fait un outil puissant pour les sciences et l’ingénierie. Ce tutoriel est une initiation à la simulation numérique, à travers la méthode la plus élémentaire qui soit : la méthode d’Euler explicite. Il est destiné aux gens ayant déjà été initiés aux équations différentielles de manière formelle et souhaitant découvrir comment les résoudre autrement. Notions abordées Ce tutoriel aborde les notions suivantes : Prérequis Les prérequis nécessaires pour comprendre le tutoriel sont les suivants : Présentation de la méthode d'Euler dtdy(t)=f(y(t),t) dtdy(t)+ay(t)=bt (tk)k∈N mfveq=g
Newton 3.1. Construction du centre de l'ellipse Les tangentes ABG, BCF, GCD, FDE et EA sont données. M et N sont les milieux des diagonales [AF] et [BE] du quadrilatère ABFE, formé par quatre des tangentes. P et Q sont les milieux des diagonales [BD] et [GF] du quadrilatère croisé BGDF, formé par quatre autres des cinq même tangentes La droite (PQ) des milieux passera encore par le centre de l'ellipse. Ainsi O est le point d'intersection de (MN) et (PQ). Figure de Newton 3.2. Tirer ensuite (KL), symétrique de la tangente (BC) par rapport à O, donc (KL), parallèle à (BC),est une tangente à la conique. L et K sont les points où cette nouvelle tangente coupe les tangentes DCG et EDF. C, K et F, L sont les points où les tangentes parallèles rencontrent les tangentes non parallèles (CK) et (FL). 3.3. Par la même méthode, par rapport à O, tracer la tangente symétrique à (AB). 3.4. De même, tracer la tangente symétrique à (CD) par rapport au centre O.. 3.5.
Ligne d'écoulement LIGNE D'ÉCOULEMENT D'UNE SURFACEFlow line of a surface Les lignes d'écoulement d'une surface sont les trajectoires de points matériels liés à la surface soumis à un champ de pesanteur vertical (on les réalise physiquement en faisant rouler une bille polie sur la surface). Lorsque la vitesse est nulle la ligne d'écoulement est tangente à la ligne de pente passant par le point, mais ce n'est en général plus le cas sinon. On remarque que l'intensité de la pesanteur g > 0, n'influe pas sur la forme des courbes (même si elle influe sur la vitesse à laquelle elles sont parcourues). Si, par contre, on fait g = 0 dans les équations ci-dessus, on trouve d'autres courbes, qui ne sont autres que les géodésiques de la surface. Sans pesanteur, la ligne d'écoulement devient une géodésique Exemples : © Robert FERRÉOL , Jacques MANDONNET 2002
L’INTÉGRALE Image des Maths 2010 Qui est le plus fort? Fort comme un haltérophile Commençons par une question au résultat surprenant. Qui est le plus fort : un haltérophile qui soulève 200 kilos à l’arraché au dessus de sa tête ? une jeune fille de 50 kilos qui monte au troisième étage sans ascenseur ? Eh bien les physiciens nous disent d’abord que le mot « fort » est particulièrement mal choisi. Le facteur , qui s’exprime en mètres par secondes carrées, est « l’accélération » due à la pesanteur. D’un autre côté, si la frêle jeune fille de 50 kilos transporte son propre poids jusqu’à une hauteur de 8 mètres [1], l’énergie dépensée sera Évidemment, il y a une différence entre les deux : dans un cas, pour l’haltérophile, l’énergie est produite en quelques secondes ; pour la jeune fille, l’échelle de temps est de l’ordre de la minute. Dans les deux cas, au coefficient près, on voit que l’énergie représente l’aire du rectangle colorié. Figure 3 : l’énergie dépensée par la jeune fille au cours d’une semaine est l’aire totale des rectangles.
DU CARREAU DE TRUCHET AU CARREAU DE WANG : ATTEINDRE L’ATOME DE L’APÉRIODIQUE ET DU CALCULABLE Nota Bene : cet article est associé à cet autre article plus contemplatif, consacré exclusivement aux pavages de Truchet, dont il partage l’introduction. I) Les pavages de Truchet A) Introduction Les pavages de Truchet, au sens historique du terme, sont des pavages dont la tuile de base est un carré colorié avec un motif bicolore de part et d’autre d’une diagonale. Cette tuile peut être tournée d’un ou plusieurs quarts de tour. Ces pavages ont été étudiés par Jean Truchet (1657 - 1729) (en religion le Père Sébastien, de l’ordre des Carmes).Voici un exemple de tuile de base. On a quatre orientations possibles : Les mathématiciens spécialisés dans ce type de pavages adoptent souvent un point de vue qui consiste à modéliser la situation sans autoriser les rotations. Voici alors le type de pavage que l’on peut obtenir : Si on développe un pavage de Truchet d’un carré par symétries axiales successives, puis si on étend par périodicité, on obtient alors une figure du genre suivant :
INDISCERNABILITÉ ET INDÉPENDANCE EN PHYSIQUE STATISTIQUE Systèmes à grand nombre de particules Beaucoup des systèmes physiques qui nous entourent sont constitués d’un nombre gigantesque de composants élémentaires. Qu’on parle d’une galaxie, qui contient de à étoiles, d’une goutte d’eau, qui contient de l’ordre de molécules, ou même d’échantillons plus exotiques préparés en laboratoire qui peuvent contenir seulement quelques milliers de particules, il est la plupart du temps hors de question de décrire exhaustivement un tel système. Il faudrait pouvoir prendre en compte les interactions entre chaque paire de particules. Dans une galaxie, chaque étoile exerce une force gravitationnelle sur toutes les autre étoiles. Modélisation en mécanique statistique. Prenons l’exemple d’un système de particules classiques vivant dans l’espace . Dans certaines situations, on ne peut connaître avec certitude ces couples. Approximation de champ moyen L’approximation la plus simple qu’on puisse faire s’appelle approximation de champ moyen. Equation de Jeans-Vlasov
LES SYSTÈMES PHYSIQUES ÉCHAPPENT-ILS AUX STATISTIQUES ? Bonjour Pierre. Tout d’abord, peux-tu nous dire dans quel domaine des mathématiques tu travailles ? J’étudie le comportement des systèmes dynamiques chaotiques. Un système dynamique, c’est simplement un système dont l’état évolue au cours du temps selon une loi déterminée, appelée loi d’évolution. On donne souvent comme exemple le Système Solaire. Un autre exemple classique est celui d’un écosystème constitué d’un petit nombre d’espèces. Ce n’est pas parce que l’on sait mettre un système en équations --- c’est-à-dire déterminer sa loi d’évolution ---, qu’on le comprend bien. Parfois, le comportement à long terme est très simple et très régulier. La théorie du chaos est née quand Henri Poincaré a découvert que trois corps isolés dans l’espace (typiquement une étoile et deux planètes), soumis à leurs seules attractions mutuelles, peuvent avoir des trajectoires extrêmement complexes. Image d’un treillis homocline. La théorie du chaos étudie les propriétés de l’évolution de tels systèmes.
HUGO DUMINIL-COPIN ET LES TRANSITIONS DE PHASE Hugo Duminil-Copin vient d’obtenir récemment deux prestigieuses récompenses en mathématiques : le prix de la société mathématique européenne (EMS) et le prix new horizon de la fondation Breakthrough. Encore un bel exemple de l’extraordinaire vitalité des mathématiques françaises ! (Vincent Calvez a également reçu un prix EMS cette année, tout comme 20 français sur 70 précédents lauréats depuis la création de ce prix). Ces prix s’ajoutent à la longue liste des honneurs qu’Hugo a déjà glanés malgré son jeune âge (31 ans). La constante de connectivité du réseau en nid d’abeille. Décrivons pour commencer un résultat fameux (et facilement explicable) d’Hugo Duminil-Copin et de Stanislas Smirnov. Fig.1 Une marche auto-évitante de longueur sur le réseau en nid d’abeille. Bernard Nienhuis, un physicien théoricien, prédit en 1982 que le nombre de telles marches autoévitantes de longueur devait se comporter [1] comme Ce nombre est appelé la constante de connectivité du réseau. Fig. 2. Fig. 3.
PROBLÈMES DE RECONSTRUCTION DE PHASE Présentation du problème Avant d’introduire les problèmes de reconstruction de phase, expliquons brièvement ce que sont les problèmes inverses. De manière informelle, un problème inverse consiste à déterminer un « objet » inconnu à partir d’un certain nombre de « renseignements » sur cet objet. Un problème de reconstruction de phase est un problème inverse dans lequel l’objet et les renseignements ont une forme particulière. L’objet inconnu, tout d’abord, est une liste de nombres, . Décrivons maintenant la forme des renseignements. où les sont des nombres connus. En général, retrouver une liste de nombres à partir de mesures linéaires n’est pas très difficile, s’il y a assez de mesures, comme l’illustre l’exemple suivant. [1] Exemple 1 : Supposons qu’on veuille déterminer une liste de deux nombres, , à partir des deux mesures linéaires suivantes, qu’on note et : Première mesure linéaire : ;Deuxième mesure linéaire : À partir de et , on peut déterminer par les formules suivantes : [V15] C.
Prévisions météorologiques | Assimilation de données Prévoir le temps est particulièrement difficile lorsque la circulation atmosphérique est instable. La météo de cette année en est un parfait exemple ! Pourtant, prédire avec fiabilité l’intensité et la trajectoire d’une tempête est nécessaire tant pour des raisons humaines qu’économiques. Pour augmenter cette fiabilité, Météo France a mis en service, dans les années 2000, des méthodes mathématiques d’assimilation de données, en particulier parce que ces méthodes auraient permis de mieux prévoir la tempête de 1999. La précision des prévisions météorologiques ne cesse d’augmenter, grâce à une puissance de calcul toujours plus importante et une compréhension plus fine des phénomènes physiques, mais également à l’aide de méthodes mathématiques. Mais pourquoi ces méthodes utilisant des informations du passé améliorent les prévisions futures ? Schéma présentant les différentes étapes du processus d’assimilation de données De nombreuses méthodes d’assimilation existent. Pour en savoir plus :