Programme de Hamilton Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. Le programme de Hamilton est une idée de « plan d'attaque », due à Richard S. Hamilton, de certains problèmes en topologie des variétés, notamment la célèbre conjecture de Poincaré. Cet article tente de décrire les raisons d'être de ce programme sans entrer dans les détails. Idée naïve[modifier | modifier le code] Dans son article fondateur de 1982, Three-manifolds with positive Ricci curvature, Richard S. , que l'on fait évoluer par : où est la courbure de Ricci de la métrique. On peut alors penser (et les premiers résultats d'Hamilton sur les variétés de dimension 3, ainsi que sur les courbes et surfaces confirment cette impression) que, de même que l'équation de la chaleur a tendance à homogénéiser une distribution de température, le flot de Ricci va « tendre » à homogénéiser la courbure de la variété. Existence en temps petit[modifier | modifier le code] Osons une comparaison. Principes du maximum[modifier | modifier le code] Soit et .
Continuité (mathématiques) Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. Historiquement définie pour des fonctions de la variable réelle, la notion de continuité se généralise à des fonctions entre espaces métriques ou entre espaces topologiques, sous une forme locale et sous une forme globale. L'étude des fonctions continues se révèle fructueuse pour les propriétés qu'elles possèdent (propriété de convergence au sens où « lim(f(x)) = f(lim(x)) », théorème des valeurs intermédiaires, théorème des bornes, intégrabilité…). une fonction définie sur I à valeurs réelles et La fonction f est dite continue en a si : Exemple d'une fonction continue sur un intervalle Exemple d'une fonction non continue en 2 : ƒ n'est pas continue à gauche en 2. f est continue à droite en 2. par ou Cela veut dire que si l'on se fixe un seuil ε, on peut trouver un intervalle autour de a tel que f(x) soit à une distance inférieure à ε de f(a). Si la continuité est valable uniquement à droite (pour x > a), on dit que f est continue à droite en a.
Courbure scalaire Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. En géométrie différentielle, la courbure scalaire (ou courbure de Ricci, ou scalaire de Ricci) est l'outil le plus simple pour décrire la courbure d'une variété riemannienne. Il assigne à chaque point d'une variété riemannienne un simple nombre réel caractérisant la courbure intrinsèque de la variété en ce point. Dans un espace à deux dimensions, la courbure scalaire caractérise complètement la courbure de la variété. On peut aussi écrire avec Scalaire de Ricci en deux dimensions et en coordonnées de Riemann[modifier | modifier le code] Le scalaire de Ricci R ou Ric s'obtient à partir du tenseur de Ricci par la relation générale, appliquée à une surface[1] : En utilisant les relations entre composantes directes et inverses de la métrique ainsi que les relations entre les tenseurs de Riemann et de Ricci de composantes et qui s'écrit alors, en deux dimensions[2] : on obtient la relation entre le scalaire de Ricci et la courbure de Gauss:
Chemin (topologie) Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. Points parcourus par un chemin de A à B dans R². Cependant, différents chemins peuvent parcourir le même ensemble de points. f : I → X. Le point initial du chemin est f(0) et le point final est f(1). f : S1 → X. C'est parce que S1 peut être regardé comme le quotient de I en identifiant 0 ∼ 1. Un espace topologique dans lequel deux points quelconques sont toujours reliés par un chemin est dit connexe par arcs. Une homotopie entre deux chemins. Les chemins et les lacets sont des sujets centraux d'étude pour la branche de la topologie algébrique appelée théorie de l'homotopie. ft(0) = x0 et ft(1) = x1 sont fixés.l'application F : I × I → X définie par F(s, t) = ft(s) est continue. Les chemins f0 et f1 reliés par une homotopie sont dits homotopes. La relation d'homotopie est une relation d'équivalence entre les chemins dans un espace topologique. On peut composer des chemins dans un espace topologique d'une manière évidente.
Plan projectif arguésien Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. Le plan projectif réel « usuel » est arguésien, et plus généralement un plan projectif P2(K) définis sur un corps quelconque K (non nécessairement commutatif) est arguésien. Réciproquement, étant donné un plan projectif arguésien, il est possible de construire un corps K de façon que ce plan soit isomorphe (pour la structure d'incidence) à P2(K). Il s'agit donc d'une approche axiomatique en termes d'incidence, de la notion de plan projectif sur un corps quelconque, et une fois que le corps est caractérisé, il est possible par exemple d'introduire les coordonnées homogènes. À partir de la dimension 3, la propriété de Desargues (dans le plan) se démontre par les seuls axiomes d'incidence, et les espaces projectifs axiomatisés en termes d'incidence sont tous des espaces projectifs sur un corps. Plan projectif arguésien[modifier | modifier le code] Axiomes[modifier | modifier le code] Plan projectif et plan affine[modifier | modifier le code]
Espace contractile Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. En mathématiques, un espace topologique est dit contractile s'il est homotopiquement équivalent à un point. Tous ses groupes d'homotopie sont donc triviaux, ainsi que ses groupes d'homologie de degré > 0. Exemples et contre-exemples[modifier | modifier le code] Tout espace vectoriel normé (ou même : tout espace vectoriel topologique sur ℝ) est contractile, à commencer par la droite réelle et le plan complexe. La n-sphère Sn n'est pas contractile bien que, pour n ≥ 2, elle soit simplement connexe. La sphère unité d'un espace de Hilbert H de dimension infinie est contractile (et même[2] difféomorphe à H). Le « cercle polonais », obtenu en ajoutant à la courbe sinus fermée du topologue un arc joignant (0, –1) à (1, sin 1), n'est pas contractile, bien que tous ses groupes d'homotopie soient triviaux. Définitions équivalentes[modifier | modifier le code] Soit X un espace topologique non vide. Notes et références[modifier | modifier le code]
Writings/Écrits : Cédric Villani J’ai regroupé dans cette page des écrits divers, composés pour des occasions variées : Textes de vulgarisation (contributions à des ouvrages scientifiques pour grand public), Cartes blanches pour le supplément Sciences du quotidien Le Monde; Tribunes et réflexions (réflexions liées à la recherche, témoignages pour grand public…), Préfaces et éditoriaux, Textes littéraires (exercices de style, textes destinés à des festivals ou rencontres…); enfin une liste d’ouvrages grand public. Textes de vulgarisation Les textes ci-dessous sont parus dans des ouvrages ou revues grand public consacrés aux sciences Grigori Perelman. Bref portrait de Grigori Perelman. Cartes Blanches pour Le Monde Les textes ci-dessous ont été écrits pour le supplément Sciences & Technologie du Monde, à partir de septembre 2011; ces “cartes blanches” sont limitées à 3000 caractères, ce qui impose une grande concision! Tribunes, réflexions, interventions publiques Préfaces et éditoriaux Textes littéraires Ouvrages grand public
Variété (géométrie) Image en deux dimensions représentant une courbe dans un espace de trois dimensions. Cette courbe est une variété de dimension 1, aussi dite 1-variété. Réalisation du ruban de Möbius à partir du collage d'une bande de papier. Le « bord » n'est que d'un seul tenant. On peut approcher les variétés de deux façons : Il est difficile de dire qui le premier a étudié les courbes ou les surfaces en tant qu'objets mathématiques abstraits. La topologie algébrique cherche à classer les variétés (mais aussi des objets plus généraux) en en déterminant des invariants, c'est-à-dire des objets mathématiques — qui peuvent être des nombres réels — associés à chaque variété et qui en caractérisent la topologie. Les variétés constituent à la fois un cadre et un sujet d'étude communs pour les chercheurs en mathématiques et en physique. Les difficultés qui existent pour représenter sur un plan une surface sphérique comme la Terre sont un bon moyen d'appréhender la géométrie différentielle. Ainsi ceux de :
Problèmes de Hilbert Lors du deuxième congrès international des mathématiciens, tenu à Paris en août 1900, David Hilbert présenta une liste de problèmes qui tenaient jusqu'alors les mathématiciens en échec. Ces problèmes devaient, selon Hilbert, marquer le cours des mathématiques du XXe siècle, et l'on peut dire aujourd'hui que cela a été grandement le cas. Publiée après la tenue du congrès, la liste définitive comprenait 23 problèmes, aujourd'hui appelés les problèmes de Hilbert. Les sections suivantes présentent brièvement chaque problème. Les 23 problèmes de Hilbert[modifier | modifier le code] Description détaillée[modifier | modifier le code] Premier problème[modifier | modifier le code] Tout sous-ensemble infini des réels peut être mis en bijection avec l'ensemble des entiers naturels ou avec l'ensemble des réels lui-même. Il s'agit de l'hypothèse du continu de Cantor, notée HC. Il existe un bon ordre sur l'ensemble des réels. Deuxième problème[modifier | modifier le code] Démontrer l'hypothèse de Riemann ;
Intérieur (topologie) Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. En mathématiques, l'intérieur est une notion de topologie appliquée à une partie d'un espace topologique. Soient X un espace topologique et A une partie de X. Les éléments de l'intérieur de A sont appelés les « points intérieurs à A ». L'intérieur d'une partie dépend de la topologie considérée. muni de la topologie usuelle, int([0, 1]) = ]0,1[ ;muni de la topologie discrète, int([0, 1]) = [0, 1] ;muni de la topologie grossière, int([0, 1]) est l'ensemble vide. L'intérieur d'une variété topologique à bord M de dimension n est l'ensemble des points de M qui possèdent (dans M) des voisinages homéomorphes à Rn. Portail des mathématiques The Center of Math Blog: Fun Friday: World Tesselation Day "The geometry of space translates to a reoccurring theme in my creations: the tessellation." - M.C EscherM.C Fisher was one of the artists responsible for leading the art of tessellation. Today, June 17th, is M.C Escher's birthday. This served as the inspiration for Emily Grosvenor's push to create World Tessellation Day. Grosvenor is the author of a children's book about a girl named Tessa who sees patterns everywhere titled, Tessalation. What is a tessellation? According to Escher, a tessellation is an arrangement of closed shapes that completely covers the plane without overlapping or leaving gaps. Where can you find tessellations? In simple terms, everywhere! Art: Tessellations are often featured in quilts, woven or stitched. Manufacturing: Tessellations are often used in manufacturing to reduce waste. Nature: While some tessellations are created by man, some are found naturally. How do you celebrate World Tessellation Day!? This is an easy one.
Théorème du point fixe de Brouwer En 1886, Henri Poincaré démontre un résultat équivalent au théorème du point fixe de Brouwer. L'énoncé exact est prouvé pour la dimension trois par Piers Bohl pour la première fois en 1904, puis par Jacques Hadamard dans le cas général en 1910. Luitzen Brouwer propose une nouvelle démonstration en 1912. Si, parmi les centaines de théorèmes de point fixe[1], celui de Brouwer est particulièrement célèbre, c'est en partie parce qu'il est utilisé dans de nombreuses branches mathématiques. Dans sa branche d'origine, ce résultat est l'un des théorèmes clés caractérisant la topologie d'un espace euclidien, comme le théorème de Jordan, celui de la boule chevelue ou de Borsuk-Ulam[2]. Énoncés[modifier | modifier le code] Il existe plusieurs formes du théorème, selon le contexte d'utilisation. Il est possible de généraliser à toute dimension finie. De manière équivalente[Note 1] : On trouve une forme encore plus générale, mais habituellement, elle porte alors un autre nom : définie par : et . , où Soit
Mathématiques : deux infinis différents sont en fait de même taille Cette découverte va à l’encontre de ce que l'on pensait depuis des décennies : deux mathématiciens viennent de prouver que deux sortes différentes d’infini ont en réalité la même taille. Cette avancée touche l’un des problèmes les plus célèbres et les plus insolubles des mathématiques : existe-t-il des types d'infinis de taille intermédiaire entre celle de l'ensemble des nombres entiers naturels et celle des nombres réels, plus grand ? Le problème a été identifié pour la première fois il y a un siècle. A cette époque, les mathématiciens savaient que « les nombres réels étaient plus nombreux que les nombres naturels », mais ils ne savaient pas de combien. « Est-ce juste la taille au dessus, ou existe-t-il une taille intermédiaire ? », explique Maryanthe Malliaris, de l’université de Chicago, coauteure de la nouvelle étude avec Saharon Shelah, de l’université hébraïque de Jérusalem et de l’université de Rutgers. Beaucoup d’infinis La notion d’infini est un casse-tête. 1 2 3 4 5 ...