jouer à raisonner, échecs Question Sur un plateau de 8 x 8 = 64 cases, combien peut-on dénombrer de rectangles de toutes tailles? Réponse: trois méthodes 1) Méthode directe par dénombrement Chaque case blanche indique la quantité de rectangles de taille n x m Avec p, on indique le nombre de possibilités pour cette dimension. On reconnait une table de multiplication. Sur un échiquier de 8x8, on dénombre 1 296 rectangles de toutes tailles. 2) Méthode astucieuse par comptage par les diagonales Un rectangle sur l'échiquier est entièrement défini par une de des deux diagonales, de bas en haut comme de haut en bas; soit quatre possibilités de diagonales pour un rectangle. Une diagonale part d'un des 9 x 9 sommets et elle rejoint l'un des autres, sauf ceux sur la même horizontale ou la même verticale; restent 8x 8 arrivées. Bilan sur la quantité de rectangles: Q = ¼ x 9x9 x 8x8 = 1 296 De sorte que la généralisation à un plateau de N x M cases: 3) Méthode mathématique par calcul des combinaisons pour l'échiquier
DES JUMEAUX DANS LA FAMILLE DES NOMBRES PREMIERS II Voici le deuxième volet de cette série d’articles dédiée à la conjecture des nombres premiers jumeaux. Si vous n’avez jamais entendu parler des nombres premiers ou des nombres premiers jumeaux, je vous invite à commencer par lire le premier article de cette série. Rappelons rapidement qu’une paire de nombres premiers jumeaux est constituée de deux nombres premiers dont la différence vaut . La liste de ces paires commence par : et on conjecture que cette liste ne s’arrête jamais, autrement dit qu’il y a une infinité de paires de nombres premiers jumeaux. Pourquoi conjecturer que cette liste est infinie et non pas le contraire ? Partons donc du principe que grâce à un ordinateur et un programme adéquat [1], nous sommes en mesure d’obtenir la liste des nombres premiers plus petits que . Certes, on peut se dire que c’est « beaucoup », mais ces chiffres seuls ne nous apprennent pas grand-chose. Diable, où sont passées nos marches d’escalier ? En fait, il n’en est rien. Un zeste de probabilité
La somme des angles d’un polygone : démonstration et pièges | Automaths C’était hier. L’anecdote mathématique du compte Twitter @AnecdotesMaths affirmait que la somme des angles intérieurs d’un polygone à n côtés vaut (n-2)π radians, ou (n-2) x 180 degrés. Commençons par y ajouter une précision : le polygone doit être simple et ne pas s’auto-intersecter, comme c’est le cas pour ce polygone. Toutefois, préciser « non croisé » peut être un peu lourd alors je me permets cette légèreté dans l’article : lorsque je parlerai de polygone, celui-ci sera non croisé. Ainsi, pour n=3, on retrouve que la somme des angles d’un triangle vaut 180° – un angle plat, si vous préférez. Pour n=4, la somme des angles intérieurs d’un quadrilatère vaut 360°. L’idée de la démonstration semble alors couler de source : puisque l’on a une propriété qui dépend d’un nombre entier n et puisque le point de départ, n=3 est établi, nous allons procéder par récurrence. Voici alors le raisonnement : notons P(n) la proposition « la somme des angles intérieurs d’un polygone vaut (n-2) x 180° »
Nombre de Lewis Carroll Multiplications repdigit 12 345 679 x 9 x 1 = 111 111 111 12 345 679 x 9 x 2 = 222 222 222 12 345 679 x 9 x 3 = 333 333 333 12 345 679 x 9 x 4 = 444 444 444 12 345 679 x 9 x 5 = 555 555 555 Etc. La suite: Repunit 12 345 679 = 111 111 111 x 1, 111 … 111111111 x 1,111 = 123444444,3 111111111 x 1,1111 = 123455555,4 111111111 x 1,11111 = 123456666,5 111111111 x 1,111111 = 123456777,7 111111111 x 1,1111111 = 123456788,8 111111111 x 1,11111111 = 123456789,9 111111111 x 1,111111111 = 123456790,0 Jeux Sur une calculette, remplissez l'écran avec des 1. Formulaire de Mathématiques : Mémento sur les probabilités Propriétés élémentaires On a les propriétés élémentaires suivantes : Probabilité d'une réunion si les événements sont 2 à 2 incompatibles : sinon, on applique la formule du crible : Probabilité d'une intersection si les événements sont indépendants : sinon, on applique la formule des probabilités composées : Soient A1,..., Am m événements tels que . Formule des probabilités totales Soit {Ai; i I} un système complet d'événements, tous de probabilité non nulle. Cette formule permet de calculer la probabilité d'un événement B en le décomposant suivant un système complet d'événements. Formule de Bayes Soit (An) un système complet d'événements,tous de probabilité non nulle. Si de plus P(B)>0, on a pour tout entier k l'égalité : Cette formule est souvent utilisée lorsque le système complet est : un événement et son contraire.
Les mots sturmiens Introduction On étudie ici des mots infinis constitués de a et de b, et qui possèdent la propriété d'être de complexité minimale parmi les mots non périodiques : les mots sturmiens. On étudiera certaines de leurs propriétés combinatoires, puis on recherchera un procédé itératif systématique pour les engendrer. On s'intéressera aussi à des ensembles de mots sturmiens appelés systèmes dynamiques sturmiens, définis à partir de l'itération d'un opérateur, et qui lient des mots sturmiens partageant certaines propriétés. Définitions d'ordre général sur les mots Un mot infini est une application de dans un ensemble A appelé alphabet. . dans A (ou le mot vide si Un facteur d'un mot u est un mot fini constitué de lettres consécutives de u. Le langage d'un mot u est l'ensemble de ses facteurs. La complexité d'un mot u est l'application qui à chaque associe le nombre de facteurs de u de longueur n différents. ce nombre. Propriétés combinatoires des mots sturmiens Définition des mots sturmiens tel que où . . .
DES JUMEAUX DANS LA FAMILLE DES NOMBRES PREMIERS I Cet article est le premier volet d’une série de trois épisodes qui vise à présenter un problème mathématique célèbre et à ce jour irrésolu, celui des nombres premiers jumeaux. Mais avant de parler de jumeaux, connaissez-vous les nombres premiers ? Il s’agit des nombres strictement plus grands que 1 qui ne sont divisibles que par 1 et par eux-mêmes : L’étude de ces nombres premiers peut s’avérer particulièrement délicate comme nous allons le constater. Commençons par nous familiariser davantage avec eux. Pour cela, je vous conseille de rechercher par vous-même tous les nombres premiers plus petits que 60. Liste des nombres premiers plus petits que 60 Pour les trouver, peut-être avez-vous testé pour chaque nombre s’il était divisible par un autre nombre que lui-même et 1, en faisant appel aux tables de multiplication ou même en utilisant une calculatrice ? D’une manière ou d’une autre, on peut trouver tous les nombres premiers plus petits que, disons 200 pour commencer.
LES POLYEDRES ; le tétraèdre. Pré requis: ENVIRONNEMENT du dossier: I ) LES POLYEDRES (définition et classification) III) Le « TETRAEDRE ». On retiendra : 1. 2. 3. On démontre que les angles polyèdres d’un tel polyèdre sont égaux entre eux de même que ses angles dièdres. On démontre aussi qu’il existe seulement cinq polyèdres réguliers : le tétraèdre régulier limité par 4 triangles équilatéraux égaux, l’hexaèdre régulier ou cube limité par 6 carrés égaux, l’octaèdre régulier limité par 8 triangles équilatéraux égaux, le dodécaèdre régulier limité par 12 pentagones réguliers égaux et l’icosaèdre régulier limité par 20 triangles équilatéraux égaux. Définition : Polyèdre : un polyèdre est un solide limité par des polygones plans (faces) ,ayant deux à deux un côté commun On dit qu’il est « convexe » lorsqu’il est tout entier d’un même côté du plan de chacune de ses faces et par rapport à n’importe qu’elle face . Caractéristiques du Polyèdre Un polyèdre est un solide borné de toutes part par des facettes planes. Les pyramides ;
Conway biographie À quatre ans, il connaît les puissances de 2. Adolescent, il factorise tous les nombres de 0 à 1000. Il étonnait ses amis en donnant 999 = 3 x 3 x 3 x 37. (On retient que 111, divisible par 3, est égal à 3 x 37). Il apprend les décimales de Pi et sait les réciter jusqu'à la 808e décimale. Lycée de Liverpool, puis études à Cambridge. Son directeur de thèse: Harold Davenport, spécialiste de la théorie des nombres. Il épouse une mathématicienne. 1966, Moscou, rencontre avec John McKay qui lui parle du réseau de Leech, potentiellement un nouveau groupe de symétrie. Suite en histoire des groupes de symétrie 1970, il découvre le groupe de Conway qui décrit ma manifestation de symétries dans un espace à 24 dimensions. Inventeur des nombres surréels. Conway s'intéresse au jeu de go et il découvre les nombre surréels. C'est John Conway qui a traité en profondeur les suites de "commentaires numériques infinis " (look-and-say sequence) Autres jeux: jeu du chou, jeu de la vie (automate cellulaire).
Statistiques et probabilités – simulation, animation interactive, video Notre dernière publication Terre interactive : Géodynamique Statistiques et probabilités Probabilités avec un ou deux dés Roulette Lancer de dés Planche de Galton Loi normale - Loi binomiale Connexion × Mot de passe perdu ? Erreur ! Code classe × Quel calcul les compagnies aériennes font-elles pour contrôler le « surbooking » ? | Accromath Supposons que vous lanciez un dé 5 fois. Quelle est la probabilité que la face apparaisse exactement deux fois? C’est ce type de calcul qu’effectuent les mathématiciens à l’emploi des compagnies aériennes pour optimiser le profit de celles-ci en vendant plus de billets qu’il n’y a de sièges dans l’avion. La plupart des transporteurs aériens s’adonnent à la survente, aussi appelée « surbooking » ou « overbooking ». Leur prétexte est qu’en vendant davantage de billets pour un même vol, ils pourront vendre leurs billets moins chers, ce qui sera profitable pour le voyageur. Ils font le pari qu’un nombre important de passagers ne se présenteront pas au départ de leur vol. Revenons aux lancers du dé. est 1/6, alors que la probabilité de ne pas obtenir la face est 5/6. est donnée par: \[ \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix}\left ( \frac{1}{6} \right )^2 \left ( \frac{5}{6} \right )^3 \equiv 0,160 \, 751. \] Il s’agit d’un cas spécial de la loi binomiale (voir l’encadré à ce sujet).
DES JUMEAUX DANS LA FAMILLE DES NOMBRES PREMIERS III Voici le troisième et dernier volet de notre série sur les nombres premiers jumeaux. Dans le premier volet, nous avons commencé par observer l’agencement des nombres premiers, ces nombres strictement plus grands que qui ne sont divisibles que par eux-mêmes et . Parmi ces nombres premiers nous avons distingué ceux qui se suivent de deux unités comme et , et , et ... on les appelle nombres premiers jumeaux. Nous avons conjecturé qu’il y a une infinité de telles paires et dans le deuxième volet nous avons étayé cette conjecture en observant plusieurs graphiques. Aujourd’hui nous abordons de front la question fatidique : comment parvenir à une démonstration de cette conjecture ? Nous voulons donc prouver qu’il y a une infinité de nombres premiers jumeaux, autrement dit que la liste des nombres premiers jumeaux ne s’arrête jamais. Ici le problème « facile » est tout trouvé : sait-on démontrer que la liste de tous les nombres premiers ne s’arrête jamais ? Partons d’une situation familière.