El paradójico copo de nieve de Sierpinski ¿De dónde salen las dimensiones fraccionarias o fractales? La pregunta del título de este trabajo me llevó a averiguar en Internet y a encontrar varias definiciones del concepto de dimensión, de las cuales las dimensión euclídea es la menos general. Sin embargo ésta siempre coincide con las definiciones más generales en los casos que ella abarca. Y la definición de Hausdorff-Besicovitch que es en la que entran los fractales, no es una excepción. “Pick a point in a metric space. “How many disks does it take to cover the Koch coastline? where N(h) is the number of disks of size h needed to cover the object. [Tomado de la página de Glen Elert, The Chaos HyperTextbook, About Dimension (3.3. Y ahora, ¿dónde estaba el error el razonamiento? [Tomado de la página de Charles Vasallo, Notion de dimension fractale.] Nótese que en el último caso (ángulo de 90 grados), como en la curva de Peano, la dimensión es entera.
Epicycles de Ptolémée Epicycles de Ptolémée Pour les grecs depuis Aristote (−385, −322) la Terre était le centre du Monde. Seul Aristarque de Samos (−310, −230) avait envisagé un système héliocentrique. La Terre est le centre du Monde et seuls sont possibles les mouvements rectilignes et circulaires uniformes étaient deux dogmes. Mais ces dogmes posaient aux observateurs du ciel un problème majeur : Comment expliquer les boucles des planètes ? Utilisation : La partie gauche du schéma représente dans le système héliocentrique le mouvement de la Terre (en bleu) et d'une planète hypothétique (en jaune) qui mettrait exactement trois années terrestre pour parcourir son orbite. Le slider rouge permet de modifier le rapport des vitesses de rotation entre l'épicycle et le déférent. Le slider vert permet de modifier le rayon de l'épicycle. Le bouton [Départ] permet de lancer l'animation la pause et la reprise de l'animation..
1980s Pop Song Reveals Fractal Rhythms of the Human Mind — NOVA Next Pop music in the 1980s was full of weirdness, but no amount of Madonna or “The Safety Dance” will prepare you for what scientists recently found in a Michael McDonald song—fractals. Physicist Holger Henning and colleagues at the Max Planck Institute for Dynamics and Self-Organization in Göttingen, Germany found self-similar patterns in the drum pattern of a recording of the 80s hit song “I Keep Forgettin’.” This pop classic features drummer Jeff Parcoro, who was a member of Toto and has played for other big names like Steely Dan, Madonna, and Pink Floyd. The music video for Michael McDonald’s "I Keep Forgettin’ You." Loosely speaking, a fractal pattern is distinctly recognizable no matter how much you zoom in or out, a property known as self-similarity. For example, if you show a pattern to a person looking through a microscope and to an astronaut looking down from orbit with a telescope, and they describe the same thing, then that pattern is self-similar.
mathématiques - cercle et multiplications espace pédagogique > disciplines du second degré > mathématiques > enseignement > actions nationales > 2019-2021 mis à jour le 10/05/2021 Un polygone pour modéliser le cercle, et pourquoi ne pas en profiter pour faire de jolies figures ? mots clés : cercle, modulo, modélisation Ce travail a été réalisé dans des classes de 4e et de 3e avec une finalité différente. Les différentes étapes Apprendre à utiliser une boucle (travail préparatoire qui peut être proposé avant les séances informatiques pour ne pas perdre de temps) Modéliser le cercle (1ère séance) Divers tracés (2ème séance de 4e) Modéliser les tables de multiplications (2ème séance de 3e) Apprendre à utiliser une boucle Il est possible de proposer aux élèves de tester un programme qui compte comme travail personnel avec scratch en ligne par exemple. Modéliser le cercle Contraintes : Demander et/ou conserver le nombre de points sur le cercle dans une variable. Divers tracés (4e) Modéliser les tables de multiplication (3e) auteur(s) :
Fiesta fractal en Almería | Juegos topológicos [Actualizado el 22 de diciembre, 2014] La construcción de la Esponja de Menger, del proyecto Megamenger, se ha montado en el Museo de Almería. En ella han participado cientos de estudiantes y profesores de intitutos de la provincia de Almería y de la Universidad de Almería. 6ª iteración montada en el Museo de Almería, el pasado 25 de octubre de 2014. Con motivo del centenario del nacimiento del gran divulgador de las matemáticas, Martin Gardner (nacido un 21 de octubre de 1914) del 21 al 25 de octubre, el Museo de Almería en colaboración con el Departamento de Matemáticas de la Universidad de Almería, organiza actividades divulgativas de Matemáticas para toda la familia, grupos de escolares, y en general para todas aquellas personas que quieran conocer de cerca el fascinante mundo de los fractales. De manera similar, pero en el espacio, la esponja de Menger parte de un cubo, se divide en 27 cubos iguales y se quitan los 6 centrales de cada cara y el central interior, quedando 20 cubos.
La beauté de la multiplication Question : faut-il être fou pour parler d'arithmétique modulaire à un collégien ?Réponse : non ! On l'utilise même tous les jours en regardant l'heure... L'idée de base de l'arithmétique modulaire est de travailler non sur les nombres eux-mêmes, mais sur les restes de leur division par quelque chose.Par exemple, s’il est 16h52 et que j’attends 15 minutes, il sera 17h07, autrement dit 52+15=7 dans l’arithmétique (des minutes) de l’horloge. Ce que nous en écrivons, en mathématiques : 52 + 15 ≡ 7 (mod. 60) et que nous lisons : « 52 plus 15 est congru à 7 modulo 60 ». Pourquoi congru ? Pour lire la sublime biographie de Gauss, c'est dans un autre article : cliquer ici. Vous comprenez maintenant, je l’espère, les congruences suivantes : 5 ≡ 2 (mod. 3) ; 1985 ≡ 5 (mod. 10) ; 20 ≡ 8 (mod. 12). L’arithmétique modulaire est enseignée en Terminale Scientifique, pour ceux qui choisissent la spécialité mathématiques.Autant dire à des années de ce que pourrait comprendre un élève de collège…
UNE BALADE PARMI LES ENSEMBLES DE JULIA Mon domaine de recherche principal abonde de noms imagés. J’aimerais vous montrer quelques exemples. La dynamique holomorphe est une branche des mathématiques un peu à part. D’une part, c’est une sous-branche des systèmes dynamiques, domaine où l’on peut étudier le comportement à long terme des orbites des planètes par exemple. D’autre part, les systèmes que je regarde ne correspondent à rien de réel. Qu’est-ce qui motive alors l’énergie que mes collègues et moi y consacrons ? ... qu’avons-nous ? En vrac : chou-fleur, lapin, éléphants, papillons, hippocampes, citron, dragons, monstre abyssal, aéroplane, koalas, Kokopelli, basilique, dendrites, batteur à œufs, bouquet, tapis, tamis, et plein d’autres... Allez, je vous fais faire un petit tour, puis commenterai un peu les usages en mathématiques. Le lapin de Douady. Probablement le plus célèbre des ensembles de Julia. Les ensembles de Julia, je ne vais pas vous les définir ici. Système dynamique : le lapin a même son film ! c = 0.25 c = 0.3
MON GROUPE PRÉFÉRÉ, PSL2(ℤ) par Bruno Sevennec Le 18 avril 2015 - Ecrit par Marie Lhuissier Cet article a été écrit en partenariat avec La Maison des Mathématiques et de l’Informatique La Maison des Mathématiques et de l’Informatique accueille chaque semaine les exposés mathématiques, originaux, ludiques et détendants dont ces notes sont issues. Allez faire un tour sur son site ! Un petit tour en compagnie d’un des groupes les plus connus et les plus fascinants des mathématiques : , vu sous un angle inhabituel. Partager cet article Pour citer cet article : Marie Lhuissier — «Mon groupe préféré, PSL2(ℤ)» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015 FRACTALES DE SIERPINSKI -Fractales Waclaw Sierpinski fue un importante matemático polaco que dedicó una parte de sus investigaciones al estudio de distintas formas de fractales. Estas son las más importantes: Este triángulo se construye partiendo de un triángulo simple. Después, se unen los puntos centrales de cada arista de modo que quede dividido en cuatro triángulos iguales. Con esto, a cada uno de los tres triángulos que quedan en la posición de los vértices del triángulo original se les aplica esta misma transformación sucesivamente: Su interpretación como L-sistema sería la siguiente: L-sistema: Triángulo de Sierpinski Axioma: FXF - - FF - - FF Reglas de producción: F è FF ; X è - - FXF ++ FXF ++ FXF - - ; + è + ; - è - Parámetro α: 60 grados La dimensión fractal de este triángulo se corresponde con el opuesto del límite cuando el número de iteraciones n tiende a infinito del cociente entre los logaritmos neperianos del número de triángulos negros y del tamaño del lado de cada uno de ellos en la n-ésima iteración. è
fractales introduction En 1975 , il invente le mot fractal. Du latin fractus, brisé, cassé, fracturé.Il est considéré comme le père de la géométrie fractale. The history of fractals dates back to 1975, when Fractals were discovered by Benoît Mandelbrot. Il travaille chez IBM et résout un problème de bruit aléatoire dans les transmissions entre ordinateurs. Il avait constaté que les erreurs étaient de type fractal. Il prend connaissance des œuvres de Julia et Fatou et les exploite à l'aide d'ordinateurs. Il découvre de nombreuses figures (dragon auto-carrés) selon la valeur de la constante. En 1980, Mandelbrot étudie les frontières entre ces deux types de figures. Partant d'une situation quelconque, Mandelbrot observe qu'à la longue, les points sont attirés par une attracteur dit étrange ou plus exactement un attracteur fractal.
Fractales Karl Menger (1902-1985) He aquí la alfombra de Sierpinski (Sierpinski's Carpet) Ahora las imágenes hablan ya por sí mismas. El proceso de elaboración de la alfombra de Sierpinski es muy semejante a su triángulo . Dividimos un cuadrado de lado unidad inicial en nueve cuadrados idénticos y recortamos el central. Repetimos el proceso en cada iteración. En la iteración n-ésima persisten: Nn = 8n , cuadrados. Ln = (1/3)n . El área total en la n-ésima iteración será: An= Ln2 Nn = (8/9)n . Así que en el límite de iteraciones tendiendo a infinito, la alfombra de Sierpinski está tan apolillada que su superficie es nula. Si partimos de un cubo en tres dimensiones y aplicamos un proceso semejante al de la alfombra de Sierpinski , obtendremos la esponja de Menger.