Albert Tarantola's web page. Tom Kennedy. Gregory F. Lawler. 18.06 Linear Algebra, Spring 2010. 理解矩阵（三） - 孟岩. 这两篇文章发表于去年的4月。
在第二部分结束的时候，我说： “矩阵不仅可以作为线性变换的描述，而且可以作为一组基的描述。 而 作为变换的矩阵，不但可以把线性空间中的一个点给变换到另一个点去，而且也能够把线性空间中的一个坐标系（基）表换到另一个坐标系（基）去。 而且，变换点 与变换坐标系，具有异曲同工的效果。 线性代数里最有趣的奥妙，就蕴含在其中。 理解了这些内容，线性代数里很多定理和规则会变得更加清晰、直觉。 然而这一拖就是一年半。 是时不时收到的来信逐渐改变了我的想法。 一年半以来，我收到过不下一百封直接的来信，要求我把后面的部分写出来。 所以，下面就是你们来信要求我写出来的东西。 首先来总结一下前面两部分的一些主要结论： 1. 下面让我们把视力集中到一点以改变我们以往看待矩阵的方式。 [a1, a2, a3, ..., an] 矩阵呢？ a11, a12, a13, ..., a1n a21, a22, a23, ..., a2n ... an1, an2, an3, ..., ann 不用太聪明，我们就能看出来，矩阵是一组向量组成的。
言归正传。 现在到了关键的一步。 “慢着！” 嗯，所以我说到了关键的一步。 “运动等价于坐标系变换”。 对不起，这话其实不准确，我只是想让你印象深刻。 “对象的变换等价于坐标系的变换”。 或者： “固定坐标系下一个对象的变换等价于固定对象所处的坐标系变换。” 说白了就是： “运动是相对的。” 让我们想想，达成同一个变换的结果，比如把点(1, 1)变到点(2, 3)去，你可以有两种做法。 从第一个方式来看，那就是我在《理解矩阵》1/2中说的，把矩阵看成是运动描述，矩阵与向量相乘就是使向量（点）运动的过程。 Ma = b 的意思是： “向量a经过矩阵M所描述的变换，变成了向量b。” 而从第二个方式来看，矩阵M描述了一个坐标系，姑且也称之为M。 “有一个向量，它在坐标系M的度量下得到的度量结果向量为a，那么它在坐标系I的度量下，这个向量的度量结果是b。” 这里的I是指单位矩阵，就是主对角线是1，其他为零的矩阵。 而这两个方式本质上是等价的。 我希望你务必理解这一点，因为这是本篇的关键。 正因为是关键，所以我得再解释一下。 在M为坐标系的意义下，如果把M放在一个向量a的前面，形成Ma的样式，我们可以认为这是对向量a的一个环境声明。 “注意了！ 那么我们再看孤零零的向量b： b 多看几遍，你没看出来吗？ Ib 请看： 理解矩阵（转）_kissfm2046. 这是很早以前已经看过的，最近无意中又把保存的文章翻出来时，想起很多朋友问过矩阵，虽对矩阵似懂非懂，但却很想弄懂它，希望这几篇文章能帮你一下，故转之： （一） 前不久chensh出于不可告人的目的，要充当老师，教别人线性代数。
于是我被揪住就线性代数中一些务虚性的问题与他讨论了几次。 很明显，chensh觉得，要让自己在讲线性代数的时候不被那位强势的学生认为是神经病，还是比较难的事情。 可怜的chensh，谁让你趟这个地雷阵？！ 线性代数课程，无论你从行列式入手还是直接从矩阵入手，从一开始就充斥着莫名其妙。 事实上，我并不是特例。 大部分工科学生，往往是在学习了一些后继课程，如数值分析、数学规划、矩阵论之后，才逐渐能够理解和熟练运用线性代数。 * 矩阵究竟是什么东西？ * 矩阵的乘法规则究竟为什么这样规定？ * 行列式究竟是一个什么东西？ * 矩阵为什么可以分块计算？ * 对于矩阵转置运算AT，有(AB)T = BTAT，对于矩阵求逆运算A-1，有(AB)-1 = B-1A-1。 * 为什么说P-1AP得到的矩阵与A矩阵“相似”？ * 特征值和特征向量的本质是什么？ 这样的一类问题，经常让使用线性代数已经很多年的人都感到为难。 我认为，这是我们的线性代数教学中直觉性丧失的后果。 自从1930年代法国布尔巴基学派兴起以来，数学的公理化、系统性描述已经获得巨大的成功，这使得我们接受的数学教育在严谨性上大大提高。 对于线性代数的类似上述所提到的一些直觉性的问题，两年多来我断断续续地反复思考了四、五次，为此阅读了好几本国内外线性代数、数值分析、代数和数学通论性书籍，其中像前苏联的名著《数学：它的内容、方法和意义》、龚昇教授的《线性代数五讲》、前面提到的Encounter with Mathematics（《数学概观》）以及Thomas A. 因为打算写得比较多，所以会分几次慢慢写。 今天先谈谈对线形空间和矩阵的几个核心概念的理解。 首先说说空间(space)，这个概念是现代数学的命根子之一，从拓扑空间开始，一步步往上加定义，可以形成很多空间。 总之，空间有很多种。 线性变换_roger. 前不久chensh出于不可告人的目的，要充当老师，教别人线性代数。
于是我被揪住就线性代数中一些务虚性的问题与他讨论了几次。 很明显，chensh觉得，要让自己在讲线性代数的时候不被那位强势的学生认为是神经病，还是比较难的事情。 可怜的chensh，谁让你趟这个地雷阵？！ 色令智昏啊！ 线性代数课程，无论你从行列式入手还是直接从矩阵入手，从一开始就充斥着莫名其妙。 事实上，我并不是特例。 大部分工科学生，往往是在学习了一些后继课程，如数值分析、数学规划、矩阵论之后，才逐渐能够理解和熟练运用线性代数。 *矩阵究竟是什么东西？ *矩阵的乘法规则究竟为什么这样规定？ *行列式究竟是一个什么东西？ *矩阵为什么可以分块计算？ *对于矩阵转置运算AT，有(AB)T = BTAT，对于矩阵求逆运算A-1，有(AB)-1 = B-1A-1。