background preloader

Logique mathématiques

Facebook Twitter

Implication-Négation d'une implication. Logique et raisonnements - partie 2 : raisonnements. Logique et raisonnements - partie 1 : logique. Www.mathprepa.fr cours mpsi chap01. Calcul des propositions. 1.1.

Calcul des propositions

Définition Une proposition est une phrase (dont on peut comprendre le langage sans ambiguïté) dont on peut connaître la véracité (valeur de vérité). La valeur de vérité peut être « vrai » (ou \mathcal V, ou True, ou T, mais évitons 1), ou « faux » (ou \mathcal F, ou False, ou F, mais évitons 0). Introduction à la logique mathématique. Nous avons maintenant tous les outils en main pour réaliser des raisonnements mathématiques complets.

Introduction à la logique mathématique

Un raisonnement permet d'établir une proposition à partir d'une ou de plusieurs propositions initiales admises (ou précédemment démontrées) en suivant les règles de la logique. Nous allons dans cette dernière partie détailler quatre "types" de raisonnement, quatre "méthodes" pour démontrer une proposition : Trouver un exemple ou un contre-exempleDémontrer la contraposéeRaisonner par l'absurdeRaisonner par récurrence Ces différentes formes de raisonnements devront s'appliquer dans des cas bien particuliers. Exemple et contre exemple. eMaths – Plateforme mathématiques. Pour montrer que l’implication « si $A$ alors $B$ » est vraie, on suppose que la proposition $A$ est vraie, puis on en déduit, après une ou plusieurs étapes de raisonnement, que la proposition $B$ est vraie.

eMaths – Plateforme mathématiques

Pour montrer que l’implication « si $A$ alors $B$ » est fausse, il faut montrer que la proposition $A$ peut être vraie alors que la proposition $B$ est fausse (il s’agit souvent de trouver un contre-exemple). Exemple Pour montrer que « si $x\leq 3$ alors $x–3–x^2\leq 0$ » est vraie, on suppose $x\leq 3$ et on en déduit $x–3\leq 0$ ; comme un carré est toujours positif, $x^2\geq 0$ donc $–x^2\leq 0$. En ajoutant deux nombres négatifs, on obtient un nombre négatif donc $x–3–x^2\leq 0$. Pour montrer que « si $x^2\geq 1$ alors $x\geq 1$ » est une implication fausse, on cherche un contre-exemple, c’est-à-dire ici un réel $x<1$ tel que $x^2\geq 1$.

Chapitre2. Loi de la logique , fonction implication. Voici les quatre situations envisageables pour illustre l'implication: Interrupteur ouvert et ampoule éteinte, c'est normal.

loi de la logique , fonction implication

Interrupteur fermé et ampoule allumée, c'est normal. Interrupteur fermé et ampoule éteinte, ce n'est pas normal, mais possible (l'ampoule est grillée, la pile est déchargée …). Par contre, il est clairement impossible que l'ampoule s'allume sans courant. Ce dernier cas est finalement le plus seul qui permet de conclure. 209logiqueIMPLICATION. Implication logique. Définitions On dit qu'une proposition P 'implique' (synonymes: 'force', 'entraîne') une proposition Q si et seulement si Q est vraie chaque fois que P est vraie.

implication logique

Exemple: P: 1=2 Q: 2=3 Si P est vraie alors 1+1=2+1 donc Q. Cela revient à dire qu'il est impossible qu'on ait P vraie sans avoir Q vraie également. Autrement dit, il est impossible d'avoir P sans avoir Q. Autrement dit encore, P∧(¬Q) est une contradiction, ou bien ¬(P∧(¬Q)) est une tautologie. FormLingSemantLog. Loi de la logique , exemples de propositions et interprétation logique. Syllogisme. Un syllogisme est toujours composé de trois propositions: la majeure, la mineure et la conclusion Chacune de ces propositions est composée d'un sujet et d'un prédicat.

syllogisme

Quatre types de propositions de base, chacun codé par une voyelle: Chapitre1. Selcor02. Exercices corriges logique. 01 logique. 01 logique corrige. Www.mathprepa.fr exercices mpsi chap01.