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C'est pas sorcier -Les jeux de hasard

C'est pas sorcier -Les jeux de hasard

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INSMI - Institut national des sciences mathématiques et de leurs interactions - Des flippers de taille infinie Comment se comporte la somme gagnée au flipper ? Comment modéliser mathématiquement un flipper de taille infinie ? Il s’agit en fait d’un système dynamique chaotique, non sans lien avec les modèles de théorie cinétique des gaz. Le modèle du gaz de Lorentz a été introduit en 1905 par Lorentz [8]. -périodique dans le plan et obéissant à la loi de la réflexion de Descartes (angle incident=angle réfléchi). On se place dans le cadre des modèles à horizon fini en supposant que la trajectoire de toute particule rencontre au moins un obstacle et on s’intéresse à la position d’une particule après un certain nombre de réflexions. la cellule donnée par , et, pour une configuration initiale , c’est à dire un couple position vitesse , on note l’indice de la cellule dans laquelle se trouve la particule à l’instant de la -ème réflexion : L’aléa mis sur la configuration initiale est modélisé par une mesure de probabilité absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue. où . lorsque et . La somme totale .

Existe-t-il une stratégie gagnante? | Accromath Vous aimez les jeux de stratégies et vous n’avez pas eu beaucoup de chance au jeu ces derniers temps. Vous vous demandez si les mathématiques pourraient vous aider. Effectivement, il y a une branche des mathématiques appelée la théorie des jeux. Une figure marquante de ce domaine est John Forbes Nash Jr. Ce nom vous dit peut-être quelque chose. Le domaine des mathématiques qu’est la théorie des jeux a d’abord été l’étude des jeux de société. Regardons d’abord le jeu bien connu, roche, papier, ciseaux. Le jeu de Roche, papier, ciseau Deux joueurs font simultanément un des choix suivants: R: roche; P: papier; C: ciseau. Si le deux joueurs font le même choix, la partie est nulle. On note les joueurs par et . Par exemple, si le joueur choisit roche et que le joueur choisit papier, le gain du joueur est indiqué à l’intersection de la première ligne et de la deuxième colonne du tableau. Jeu à deux joueurs à somme nulle Un jeu à deux joueurs à somme nulle en politique et

Y a-t-il des jeux "honnêtes" ? - Statistique - Mathématique du secondaire Après tout le mal qui a été dit des jeux de hasard (tombola, bandit manchot, tiercé, etc.), où tout est calculé pour que nous y perdions (plus ou moins), il nous reste quand même des jeux dits "équitables", c'est-à-dire où il n'y a pas systématiquement un biais en défaveur du joueur. Songeons aux jeux de cartes (entre joueurs de même force) ou même plus simplement au pile ou face, où de manière évidente le jeu est honnête. Eh bien, malgré tout, ne vous risquez jamais à jouer à un jeu de hasard, même dit "équitable" si vous n'êtes pas plus riche que votre adversaire ! Prenons l'exemple particulièrement simple, du pile ou face (honnête, pas menteur). Voilà un jeu équitable et inoffensif (bien qu'inintéressant) ! Intuitivement, on sent bien que si l'on joue 10 fois, le plus souvent le score sera de 5/5, mais toutefois il peut être 6/4 ou 4/6 ou pire. Soyons à présent plus précis et mesurons le risque encouru. est la moyenne arithmétique entre et .

LE JEU DE HEX Le jeu de Hex Voulez-vous jouer à Polygon ? Piet Hein a inventé un jeu que les mordus du jeu d’échecs pratiqueront avec autant de plaisir que ceux qui savent tout juste tenir un crayon. Ces lignes, parues dans le journal danois Politiken daté du 26 décembre 1942, marquent la naissance d’un jeu, qui sera plus tard popularisé sous le nom de Hex. Comment gagner à Hex ? On réalise vite qu’il n’est pas toujours judicieux de placer un nouveau pion juste à côté des pions précédents. Comment gagner sur un petit plateau Sur un plateau 4x4, les blancs ont une stratégie gagnante qui commence en B3, à la suite de quoi les noirs ne peuvent empêcher les blancs de compléter l’un des chemins victorieux indiqués en pointillés. Le principe est le même sur un plateau 5x5 : en jouant dans la case centrale C3, les blancs peuvent assurer leur connexion aux deux bords quoiqu’il arrive, grâce à des ensembles disjoints de cases dans lesquels ils peuvent, en un seul coup, sécuriser un chemin. Stratégies Gagnantes

Fédération Française de Go 1. Documents de présentation et promotion du go scolaire Différents documents sont proposés, mais peuvent être modifiés à souhait, en rajoutant notamment les informations concernant votre club et vos coordonnées. Cette section gagnera à être complétée avec de nouveaux documents ou de nouvelles versions : merci de bien vouloir envoyer vos documents à la commission go scolaire, afin qu’ils soient publiés ici. A voir également les différents documents généraux édités par la FFG sur la page de la boîte à outil : dépliant de présentation de la FFG, règles simplifiées, affiches... 2. Voir aussi la page consacrée aux méthodes d'initiation. Une question, des demandes de précision ? Retour au sommaire go scolaire Un problème sur cette page?

63 Le jeu du quinze Résumé : le jeu du quinze est très simple : il faut sélectionner trois chiffres (parmi les chiffres entre 1 et 9) dont le total donne quinze. Votre adversaire en fait de même. Un ordinateur peut jouer ce rôle et vous rendre la tâche difficile. Mots-clés : carré magique, matrice, stratégie. Enoncé L’exercice s’inspire du site Internet www.cut-the-knot.com d’Alex Bogomolny. Le jeu du quinze oppose deux personnes (le rôle de la deuxième personne peut être joué par l’ordinateur). Dans ce jeu extrêmement simple, on doit pouvoir choisir qui commence et, si l’ordinateur utilise une stratégie ou joue au hasard. Indications Le jeu du quinze ressemble au jeu du tic-tac-toe ou morpion sur un carré magique de dimension trois. Le carré est magique car les sommes des trois nombres de n’importe quelle ligne (verticale, horizontale ou diagonale) est toujours 15. Il y a exactement huit lignes : Ce sont toutes les représentations possibles de quinze avec 3 entiers positifs. Solutions

77 Jeu pyramidal Résumé : le triangle de Pascal est un objet mathématique relativement connu. On se souvient que les nombres formant le triangle sont obtenus en additionnant les deux nombres situés au-dessus de lui. Que se passe-t-il si l’on part du bas du triangle et que l’on soustrait les nombres ? L’idée a inspiré un jeu qui est une forme de casse-tête, le Pyrammath. L’ordinateur permet de le résoudre aisément. Mots-clés : combinatoire, triangle. Enoncé L’exercice s’inspire du jeu Pyram... math.... Le jeu ressemble à une pyramide. On remarque que chaque ensemble de trois nombres (placés dans trois cercles reliés par un trait) à l’intérieur de la pyramide forme un triangle : deux nombres pour la base et un nombre pour le sommet. Le but du jeu est de faire en sorte que le sommet de chaque triangle de trois nombres soit égal à la soustraction (droite gauche ou gauche droite) des deux nombres qui le soutiennent. Naturellement, tous les nombres de 1 à 15 doivent être posés. Indications Solutions

10 Un tour de cartes Résumé : on dispose de beaucoup de cartes. A quelle distance maximale du bord de la table se trouvera la dernière carte, en faisant en sorte que les cartes restent en équilibre sur celle-ci ? Mots-clés : théorie des nombres, grand nombre, constante d’Euler, intégration, série, approximation, calcul d’erreurs. Enoncé Soient n cartes à jouer et une table, on souhaite construire un surplomb le plus large possible en empilant les cartes sur le bord de la table, en tenant compte des lois de la gravitation selon le modèle suivant : On peut préciser un peu plus le problème en indiquant que les bords des cartes sont parallèles aux bords de la table et que les cartes ont une longueur de 2 unités. Quel est le surplomb maximum si l’on place de façon idéale 52 cartes sur le bord de la table ? Un autre problème amusant ressemble à celui-ci : le ver sur un élastique. Cet exercice est tiré du livre Concrete Mathematics de Graham, Knuth et Patashnik publié chez Addison Wesley, 1989. Indications Solutions

93 Découper un puzzle Résumé : le puzzle est un jeu extrêmement répandu et connu. Mais, comment fabrique-t-on les pièces ? Les formes des pièces de puzzle sont en effet remarquables ; elles se ressemblent, tout en étant différentes ; lorsqu’elles s’emboîtent, elles ajoutent à la solidité de l’ensemble. Mathématiquement, il est possible de décrire la forme des pièces des puzzles. Avec un ordinateur, on peut même les représenter à volonté. Mots-clés : spline, tangente, hasard. Enoncé L’exercice s’inspire de l’article Puzzling graphics in METAPOST de Hans Hagen, 1997. Les origines des puzzles remontent aux années 1760 lorsque les fabricants de cartes de géographie sur bois eurent l’idée de les couper en pièces plus petites. Les puzzles d’alors étaient un véritable défi. Comme les puzzles étaient fabriqués en bois, ils devaient être découpés une pièce après l’autre. Aujourd’hui la fabrication des puzzles a été automatisée. Indications Les points (xci;yci) et (xci+1;yci+1) sont sur la grille. Solutions

28 Trajectoire d’une balle de tennis Résumé : comment se comporte une balle de tennis. La trajectoire est difficile à calculer car, il faut tenir compte de plusieurs forces. Cette trajectoire ne peut pas être obtenue analytiquement. Il faut donc passer par des approximations numériques. Mots-clés : approximation, équation différentielle, trajectoire, force, fluide, accélération, frottement, effet Magnus. Enoncé Quelle est la trajectoire d’une balle de tennis ? (le vecteur a la direction de l’axe de rotation et comme longueur ω = dφ(t)∕dt = (t), où φ(t) est l’angle de rotation). Comme modèle, on peut considérer un point doté d’une masse se déplaçant sous l’influence des forces suivantes : le poids = m, où = (0,0,-g) est le vecteur de l’accélération dû à la gravitation ; la force de frottement = -DL(v)∕v, dont la direction est opposée à celle de ; la force de Magnus = ML∕ω×∕v ; cette force est perpendiculaire à et . Les grandeurs des forces de frottement DL et de Magnus ML sont données par la théorie des fluides : . (t) : où

Pourquoi la Ola excite les physiciens ? - Carnets de fouloscopie Quand les gens autour de moi se lèvent subitement en criant “Ola!”, je ne peux pas m’empêcher de faire la même chose… Est-ce normal ? Vous connaissez certainement la Ola. Il s’agit d’un mouvement de la foule que l’on observe fréquemment dans les stades, lors de rencontres sportives. Un groupe de spectateurs se met debout en levant les bras et en criant “Olaaaa !” puis se rassoit tandis que le même geste est reproduit par les voisins, et ainsi de suite. Désolé pour la piètre qualité de la vidéo – digne des pires VHS des années 80… C’est pourquoi la Ola est appelée ainsi par les français (Ola signifie “vague” en espagnol) tandis que les anglais la nomme “Mexican wave” – la vague mexicaine. – C’est nous qui l’avons inventée ! Ce à quoi a immédiatement répondu l’université de Washington : – Pas du tout ! Un article de presse du Lewiston Tribune témoigne de ce conflit… Et c’est au milieu de cette bagarre générale qu’arrive un vieil homme, répondant au doux nom de “Krazy George Henderson“.

Pour chercher et approfondir - Pourquoi remplir des grilles de Sudoku Résumé de l’article Cet article guide le lecteur dans la construction d’un algorithme de résolution de sudoku programmé en langage Python. Les étapes sont détaillées sous forme d’exercices : représentation des données par listes, chainages, vérification des règles de remplissage des Sudokus, avec une annexe sur les structures de données.Le chargement de Python et du programme étudié sont proposés sur le site de l’APMEP, avec des compléments : un logiciel de résolution plus sophistiqué en Javascript et une étude sur le contrôle de l’unicité de la solution. Plan de l’article Introduction Un algorithme de backtracking Exercice 1 : Mise en œuvre sur un exemple Exercice 2 : Représentation des données Exercice 3 : Chaînages Exercice 4 : Les règles S Exercice 5 : Sudoku ANNEXE : Quelle structure de données ? Télécharger l’article en pdf dans son intégralité

DES JEUX AUX NOMBRES SURRÉELS « Au commencement, tout n’était que vide et chaos. Et J. H. W. H. Conway créa les nombres. »(Donald Knuth, 1974) Comment réussir à déterminer à l’avance qui sera le gagnant de la partie de Dominos de la Figure 1 grâce aux nombres et aux opérations mathématiques ? Figure 1 : Sur un plateau d’Échecs, deux joueurs appelés Gauche et Droite doivent placer à tour de rôle un de leurs dominos (aucune considération n’est portée aux valeurs inscrites sur les pièces). Quand les jeux se décomposent Tout d’abord, un jeu combinatoire - qui peut se retrouver sous de nombreuses formes diverses et variées - se représente mathématiquement par un arbre, appelé arbre de jeu. Figure 2 : Arbre de jeu d’une fin de partie au Morpion. Une simplification essentielle dans l’analyse des jeux – et c’est ce qui a permis à Conway de construire les nombres surréels – est de considérer qu’un même jeu est composé de plusieurs autres, qu’il est la somme de jeux plus petits et donc plus simples à analyser. Attention !

Attention, cette vidéo est un peu vieille, certaines informations ne sont plus correctes. by m.delpech.iss Apr 26

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