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Linear Algebra

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18.175 Theory of Probability: Fall, 2012 Lectures: MWF 1-2, 2-142 Office hours: Friday 2-4, 2-180 Assignments: 7 term problem sets (worth 10% of grade) and 1 final problem set (worth 30% of grade). Official course description: Sums of independent random variables, central limit phenomena, infinitely divisible laws, Levy processes, Brownian motion, conditioning, and martingales. Texts: There are many excellent textbooks and sets of lecture notes that cover the material of this course, several written by people right here at MIT. A gentler introduction to some of the material in the course appears in David Gamarnik's notes. Stellar course web site

理解矩阵(三) - 孟岩 这两篇文章发表于去年的4月。在第二部分结束的时候,我说: “矩阵不仅可以作为线性变换的描述,而且可以作为一组基的描述。而 作为变换的矩阵,不但可以把线性空间中的一个点给变换到另一个点去,而且也能够把线性空间中的一个坐标系(基)表换到另一个坐标系(基)去。而且,变换点 与变换坐标系,具有异曲同工的效果。 然而这一拖就是一年半。 是时不时收到的来信逐渐改变了我的想法。 一年半以来,我收到过不下一百封直接的来信,要求我把后面的部分写出来。 所以,下面就是你们来信要求我写出来的东西。 首先来总结一下前面两部分的一些主要结论: 1. 下面让我们把视力集中到一点以改变我们以往看待矩阵的方式。 [a1, a2, a3, ..., an] 矩阵呢? a11, a12, a13, ..., a1n a21, a22, a23, ..., a2n ... an1, an2, an3, ..., ann 不用太聪明,我们就能看出来,矩阵是一组向量组成的。 言归正传。 现在到了关键的一步。 “慢着!” 嗯,所以我说到了关键的一步。 “运动等价于坐标系变换”。 对不起,这话其实不准确,我只是想让你印象深刻。 “对象的变换等价于坐标系的变换”。 或者: “固定坐标系下一个对象的变换等价于固定对象所处的坐标系变换。” 说白了就是: “运动是相对的。” 让我们想想,达成同一个变换的结果,比如把点(1, 1)变到点(2, 3)去,你可以有两种做法。 从第一个方式来看,那就是我在《理解矩阵》1/2中说的,把矩阵看成是运动描述,矩阵与向量相乘就是使向量(点)运动的过程。 Ma = b 的意思是: “向量a经过矩阵M所描述的变换,变成了向量b。” 而从第二个方式来看,矩阵M描述了一个坐标系,姑且也称之为M。 “有一个向量,它在坐标系M的度量下得到的度量结果向量为a,那么它在坐标系I的度量下,这个向量的度量结果是b。” 这里的I是指单位矩阵,就是主对角线是1,其他为零的矩阵。 而这两个方式本质上是等价的。 我希望你务必理解这一点,因为这是本篇的关键。 正因为是关键,所以我得再解释一下。 在M为坐标系的意义下,如果把M放在一个向量a的前面,形成Ma的样式,我们可以认为这是对向量a的一个环境声明。 “注意了! 那么我们再看孤零零的向量b: b 多看几遍,你没看出来吗? Ib 也就是说:“在单位坐标系,也就是我们通常说的直角坐标系I中,有一个向量,度量的结果是b。” 回过头来说变换的问题。

Video Lectures | Linear Algebra | Mathematics Course Website Instructor: Travis Schedler TA: Saul Glasman OH: Tue, Thu 7-8 PM, 2-090 (basement) Graders: Andrei Frimu, David Thomas Email: trasched [at] math . mit .edu Lectures: TR 1:00 - 2:30 pm, 32-124 Office Hours: W 6-8 PM; also by appointment. Office: Room 2-172 Vector spaces, systems of linear equations, bases, linear independence, matrices, determinants, eigenvalues, inner products, quadratic forms, and canonical forms of matrices. Prerequisites: Calculus II (GIR) Textbook: Sheldon Axler, Linear algebra done right The Fall 2010 guest lecture of Keith Winstein on applications of linear algebra: Part 1, Part 2, and Part 3. Muddy card responses for Lecture 24 Single Jeopardy! Final review problems (one of which will appear on the final) Final review packet Last year's final and solutions Solution Set 11. Muddy card responses for Lecture 22 and Muddy card responses for Lecture 23. Lecture 24 slides have been posted. Lecture 23 slides have been posted. Problem Set 11 has been posted.

理解矩阵(转)_kissfm2046 这是很早以前已经看过的,最近无意中又把保存的文章翻出来时,想起很多朋友问过矩阵,虽对矩阵似懂非懂,但却很想弄懂它,希望这几篇文章能帮你一下,故转之: (一) 前不久chensh出于不可告人的目的,要充当老师,教别人线性代数。于是我被揪住就线性代数中一些务虚性的问题与他讨论了几次。 可怜的chensh,谁让你趟这个地雷阵?! 线性代数课程,无论你从行列式入手还是直接从矩阵入手,从一开始就充斥着莫名其妙。 事实上,我并不是特例。 大部分工科学生,往往是在学习了一些后继课程,如数值分析、数学规划、矩阵论之后,才逐渐能够理解和熟练运用线性代数。 * 矩阵究竟是什么东西? * 矩阵的乘法规则究竟为什么这样规定? * 行列式究竟是一个什么东西? * 矩阵为什么可以分块计算? * 对于矩阵转置运算AT,有(AB)T = BTAT,对于矩阵求逆运算A-1,有(AB)-1 = B-1A-1。 * 为什么说P-1AP得到的矩阵与A矩阵“相似”? * 特征值和特征向量的本质是什么? 这样的一类问题,经常让使用线性代数已经很多年的人都感到为难。 我认为,这是我们的线性代数教学中直觉性丧失的后果。 自从1930年代法国布尔巴基学派兴起以来,数学的公理化、系统性描述已经获得巨大的成功,这使得我们接受的数学教育在严谨性上大大提高。 对于线性代数的类似上述所提到的一些直觉性的问题,两年多来我断断续续地反复思考了四、五次,为此阅读了好几本国内外线性代数、数值分析、代数和数学通论性书籍,其中像前苏联的名著《数学:它的内容、方法和意义》、龚昇教授的《线性代数五讲》、前面提到的Encounter with Mathematics(《数学概观》)以及Thomas A. 因为打算写得比较多,所以会分几次慢慢写。 今天先谈谈对线形空间和矩阵的几个核心概念的理解。 首先说说空间(space),这个概念是现代数学的命根子之一,从拓扑空间开始,一步步往上加定义,可以形成很多空间。 总之,空间有很多种。 我们一般人最熟悉的空间,毫无疑问就是我们生活在其中的(按照牛顿的绝对时空观)的三维空间,从数学上说,这是一个三维的欧几里德空间,我们先不管那么多,先看看我们熟悉的这样一个空间有些什么最基本的特点。 上面的这些性质中,最最关键的是第4条。 认识到了这些,我们就可以把我们关于三维空间的认识扩展到其他的空间。 下面我们来看看线性空间。 1. 2. L1. L2. (二) b

Lecture 1: The geometry of linear equations | Video Lectures | Linear Algebra | Mathematics 线性变换_roger 前不久chensh出于不可告人的目的,要充当老师,教别人线性代数。于是我被揪住就线性代数中一些务虚性的问题与他讨论了几次。很明显,chensh觉得,要让自己在讲线性代数的时候不被那位强势的学生认为是神经病,还是比较难的事情。 可怜的chensh,谁让你趟这个地雷阵?! 线性代数课程,无论你从行列式入手还是直接从矩阵入手,从一开始就充斥着莫名其妙。 事实上,我并不是特例。 大部分工科学生,往往是在学习了一些后继课程,如数值分析、数学规划、矩阵论之后,才逐渐能够理解和熟练运用线性代数。 *矩阵究竟是什么东西? *矩阵的乘法规则究竟为什么这样规定? *行列式究竟是一个什么东西? *矩阵为什么可以分块计算? *对于矩阵转置运算AT,有(AB)T = BTAT,对于矩阵求逆运算A-1,有(AB)-1 = B-1A-1。 *为什么说P-1AP得到的矩阵与A矩阵“相似”? *特征值和特征向量的本质是什么? 这样的一类问题,经常让使用线性代数已经很多年的人都感到为难。 我认为,这是我们的线性代数教学中直觉性丧失的后果。 自从1930年代法国布尔巴基学派兴起以来,数学的公理化、系统性描述已经获得巨大的成功,这使得我们接受的数学教育在严谨性上大大提高。 对于线性代数的类似上述所提到的一些直觉性的问题,两年多来我断断续续地反复思考了四、五次,为此阅读了好几本国内外线性代数、数值分析、代数和数学通论性书籍,其中像前苏联的名著《数学:它的内容、方法和意义》、龚昇教授的《线性代数五讲》、前面提到的Encounter with Mathematics(《数学概观》)以及Thomas A. 因为打算写得比较多,所以会分几次慢慢写。 今天先谈谈对线形空间和矩阵的几个核心概念的理解。 首先说说空间(space),这个概念是现代数学的命根子之一,从拓扑空间开始,一步步往上加定义,可以形成很多空间。 总之,空间有很多种。 我们一般人最熟悉的空间,毫无疑问就是我们生活在其中的(按照牛顿的绝对时空观)的三维空间,从数学上说,这是一个三维的欧几里德空间,我们先不管那么多,先看看我们熟悉的这样一个空间有些什么最基本的特点。 上面的这些性质中,最最关键的是第4条。 认识到了这些,我们就可以把我们关于三维空间的认识扩展到其他的空间。 因此只要知道,“空间”是容纳运动的一个对象集合,而变换则规定了对应空间的运动。 下面我们来看看线性空间。 1. 2. L1.

Lecture 2: Elimination with matrices | Video Lectures | Linear Algebra | Mathematics Lecture 3: Multiplication and inverse matrices | Video Lectures | Linear Algebra | Mathematics

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