Le nombre d'or (Vitruve, architecte romain 1er siècle avant notre ère). Ainsi si a et b sont les deux grandeurs alors nous aurons : a/b = (a + b) / a. a/b = 1 + b/a pour simplifier, prenons comme variable x = a/b. alors nous obtenons : x = 1 + 1/x x - 1 - 1/x = 0 comme x non nul, nous obtenons l'équation suivante que nous noterons (E) : x2 - x - 1 = 0 qui admet comme racine positive : x = que nous notons Φ et vaut à peu près 1,618... C'est cette valeur qui est appelée le nombre d'or (dit Φ (phi) en hommage au sculpteur grec Phidias qui s'en servit dans les proportions du Parthénon à Athènes. A ce stade, je vous soumets un petit problème que m'a proposé Dominique Payeur : Je dispose d'un capital. Nous pouvons d'ores et déjà noter quelques résultats : On pourrait aussi sans équation du second degré montrer que 1/Φ = Φ - 1. Des équations précédentes, nous pouvons déduire : x2 = x + 1 et x = 1 + 1/x d'où et on a aussi : Le nombre d’or peut s’écrire à l’aide d’une infinité de radicaux emboîtés Les FRACTIONS
Le nombre d'or L' histoire ... Il y a 10 000 ans : Première manifestation humaine de la connaissance du nombre d'or (temple d'Andros découvert sous la mer des Bahamas). 2800 av JC : La pyramide de Khéops a des dimensions qui mettent en évidence l'importance que son architecte attachait au nombre d'or. Vè siècle avant J-C. (447-432 av.JC) : Le sculpteur grec Phidias utilise le nombre d'or pour décorer le Parthénon à Athènes, en particulier pour sculpter la statue d'Athéna Parthénos . IIIè siècle avant J-C. : Euclide évoque le partage d'un segment en "extrême et moyenne raison" dans le livre VI des Eléments. 1498 : Fra Luca Pacioli, un moine professeur de mathématiques, écrit De divina proportione ("La divine proportion"). Au XIXème siècle : Adolf Zeising (1810-1876), docteur en philosophie et professeur à Leipzig puis Munich, parle de "section d'or" (der goldene Schnitt) et s'y intéresse non plus à propos de géométrie mais en ce qui concerne l'esthétique et l'architecture.
nombre d'or Le nombre d’or existe. Il s’agit de la proportion selon laquelle le rapport entre deux parties est égal au rapport entre la plus grande de ces parties et le tout. C’est un nombre irrationnel : (1 + √5) / 2. Soit 1,618039887... et un nombre infini de décimales. On le trouve notamment obligatoirement dans certaines figures géométriques comme rapport entre longueurs incommensurables. Je renvoie à l'article "nombre d'or" de wikipédia ou au Que sais-je ? Car, de ce nombre, bien des usages sont faits qui sortent de la mathématique. Le nombre d’or dans l’art et l’architecture. Les premiers lieux communs concernent l’art et notamment l’architecture : il y en a cinq principaux. Il importe aussi d'être précis. 1) Les pyramides. Sur la quarantaine de pyramides royales égyptiennes recensées, près de trente sont pyramidales. Sous l’Ancien Empire, de la fin de la troisième dynastie à la fin de la 6e, on en connaît seize. 2) Le temple de Jérusalem. On fait un saut 1500 ans plus tard. 3) Le Parthénon. 4.
Homme de vitruve: Léonard de Vinci « [...] que la Nature a distribué les mesures du corps humain comme ceci. Quatre doigts font une paume, et quatre paumes font un pied, six paumes font une coudée : quatre coudées font la hauteur d’un homme. Et quatre coudées font un double pas, et vingt quatre paumes font un homme ; et il a utilisé ces mesures dans ses constructions. Si vous ouvrez les jambes de façon à abaisser votre hauteur d’un quatorzième, et si vous étendez vos bras de façon que le bout de vos doigts soit au niveau du sommet de votre tête, vous devez savoir que le centre de vos membres étendus sera au nombril, et que l’espace entre vos jambes sera un triangle équilatéral. La longueur des bras étendus d’un homme est égale à sa hauteur. Depuis la racine des cheveux jusqu’au bas du menton, il y a un dixième de la hauteur d’un homme. Depuis les tétons jusqu’au sommet de la tête, un quart de la hauteur de l’homme. La main complète est un dixième de l’homme.
La composition et le nombre d'or construction composition,esquisse,regard,accrochage oeuvre,nombre d’or,composition artistique, Nombre d’or ou Phi Utilisé depuis la nuit des temps [1], dans l’architecture [2] comme dans les œuvres d’arts [3], le nombre d’or est parfois contesté. Sa rigueur mathématique, son modulor et son coté "utopique" lèvent bien des boucliers. On le retrouve néanmoins dans de nombreuses compositions et aussi dans la nature : dans la géométrie des pommes de pins et dans la structure des coquillages nautiles. La construction d’une composition : L’orientation de votre toile/papier est à étudier en premier lieu. Le regard et la composition : Le regard doit-il se porter sur un élément particulier du dessin ou de la peinture ? Construction d’un rectangle d’or Voyez la figure à gauche et en haut pour construire un rectangle d’or : Tracez un carré, du centre d’un des cotés (marqué C) et tracez un arc de cercle passant par un angle opposé. Une esquisse pour vérifier la composition : L’accrochage de l’œuvre :
Le nombre d'or dans la peinture, l'architecture et la nature De nos jours, nous pouvons dire qu’il existe deux types de nature : la nature végétale et la nature animal. En les examinant de plus près nous pouvons remarquer que toutes deux peuvent présenter la suite de Fibonacci ainsi que les proportions d’Euclide. De ce fait, nous pouvons dire que le nombre d’or est présent partout dans la nature. La suite de Fibonacci fut créée par un célèbre mathématicien italien : Leonardo Fibonacci au XII ème siècle. A travers cette démonstration, nous allons prouver le lien existant entre la suite de Fibonacci et le nombre d’or. Nous avons vu précédemment que la suite de Fibonacci était définie à partir de 0 et 1. Nous pouvons alors poser la relation suivante avec n appartenant à l'ensemble d'entiers naturels (grâce à la définition de la suite de fibonacci exprimé ci-dessus) : Un+2=Un+1 + Un Soit Un+2 - Un+1 - Un De part cette relation, nous pouvons écrire l’équation suivante : x² - x - 1 = 0 Nous pouvons donc résoudre cette équation du second degré : Δ= b²- 4ac
L’Art et la manière de composer Aujourd’hui, éclairons-nous avec un angle nouveau le B.A BA de la Photo: la Composition. Pour travailler la composition et la gestion de la lumière dans nos œuvres photographiques, on pense souvent travail d’autres photographes en référence. Mais je trouve qu’il y a bien d’autres sources d’inspirations pour nous, photographe en herbe: la peinture ou le cinéma par exemple, par extension à tout type d’art. Le but ici n’est pas de vous réapprendre à composer (vous pouvez revoir l’article de Jerka sur la composition pour rappel) mais de voir qu’on peut apprendre en dehors du carcan de la photographie. Niveau : Tous niveaux - La peinture ou l’art qui a inspiré la photo – Ce qui faut savoir, c’est que nombres de règles de composition sont issues du nombre d’or, dont je vous épargnerais les détails mathématiques. Une application du nombre d’or Mais la photographie n’emprunte pas que des règles à la peinture. Prenons deux exemples de peintures : - Le cinéma ou la photographie animée –
La géométrie secrète d'un tableau Extraits de : Charpentes - La géométrie secrète des peintres. (Charles Bouleau) Dans le chaos pictural de ces dernières années, où la libération exacerbée de l'instinct individuel atteint à la frénésie, vouloir reconnaître les disciplines harmoniques qui, à toutes époques, ont servi secrètement de bases à la peinture pourrait sembler une folie. Mais cette folie est une sagesse. Un savoir nécessaire pour qui veut peindre. Jacques Villon (1963) Qu'est-ce que l'art de composer un tableau, et pourquoi nous en a-t-on, du temps de nos études, parlé si peu ? ... Charles Bouleau Giotto, Saint François Il fait jaillir l'eau de la montagne pour désaltérer un paysan. Le rabattement des petits côtés du rectangle est ici employé sous sa forme la plus simple. François Murez, Le Mont Blanc La composition de ce tableau obéit aux règles classiques du rabattement des petits côtés du rectangle. Rabattement d'un côté pour former le carré avec ses diagonales Visualisation des diagonales du rectangle