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Introduction à la logique mathématique

Introduction à la logique mathématique
Nous avons maintenant tous les outils en main pour réaliser des raisonnements mathématiques complets. Un raisonnement permet d'établir une proposition à partir d'une ou de plusieurs propositions initiales admises (ou précédemment démontrées) en suivant les règles de la logique. Nous allons dans cette dernière partie détailler quatre "types" de raisonnement, quatre "méthodes" pour démontrer une proposition : Trouver un exemple ou un contre-exempleDémontrer la contraposéeRaisonner par l'absurdeRaisonner par récurrence Ces différentes formes de raisonnements devront s'appliquer dans des cas bien particuliers. Exemple et contre exemple Pour montrer qu'une proposition de la forme est vraie, on cherche un x pour lequel P(x) est vraie. Exercice 11 : P : « » Démontrez que P est vraie. Correction :Soient x = 5, y = 4, z = 3. x, y et z vérifient x² = y² + z² (car 25 = 16 + 9) Donc la proposition P est vraie. Pour montrer qu'une proposition de la forme est fausse, on montre que sa négation) est vraie. Related:  logiqueMathématiques

##Composition et règle des 1/3 | Comment Apprendre la Photo Si vos photos manquent d’impact, vérifiez si vous avez suivi la règle des tiers. Certains penseront que c’est un sujet éculé, maintes fois rabâché et pourtant le défaut le plus courant est encore de centrer son sujet ou de photographier des lignes fuyantes de façon parfaitement symétrique. Rien de tel pour aboutir à une photo banale, sans énergie. La règle des tiers Reprenez les photos dont vous êtes déçus. Voyez dans quelle mesure vous respectez cette règle simple ou si vous vous en êtes totalement écarté. Cette recette de composition fonctionne bien ! Cette photo est bien composée et gagnerait encore en impact avec un fond plus flou. Composition et photographie Vérifiez la composition adoptée par d’autres photographes. Une composition simple et efficace suit souvent la règle des tiers. Vérifiez où se trouve l’élément principal des différentes photographies. Ce n’est pas plus compliqué que ça ! Pensez-vous systématiquement à composer suivant la règle des 1/3 ?

Découverte des nombres complexes Je ne vais pas vous embêter plus longtemps avec du calcul. Après tout, il ne s’agit ici que d’une introduction aux nombres complexes. Je vais plutôt vous présenter brièvement les utilisations les plus courantes des complexes. Les polynômes du second degré On va se limiter au second degré. On calcule son déterminant de la façon suivante : Δ = b² - 4ac Et on distingue, ou en tout cas, on distinguait, puisque maintenant avec les complexes, c’est terminé, les trois cas suivants : Δ > 0 : P admet deux racines distinctes x1 et x2 (il se factorise alors sous la forme suivante : P = a(X - x1)(X - x2) ) Δ = 0 : P admet une racine double x0 (il se factorise ainsi : P = a(X - x0)² ) Δ < 0 : P n’admet pas de racine dans ℝ. Et bien tout ceci reste vrai… si Δ < 0, P n’admet pas de racine dans ℝ. Souvenez-vous, pour calculer les deux racines x1 et x2, on prenait respectivement : En fait, on était bloqué par le fait que, si Δ < 0, on ne pouvait pas calculer √Δ. P = X² + 1 (un grand classique !) En géométrie

univers de l'homme moderne, pensées, humour et raisonnement Injection (mathématiques) Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. De manière équivalente, f est dite injective si pour tous x et x′ dans X, f(x) = f(x′) implique x = x′. Lorsque X et Y sont tous les deux égaux à la droite réelle ℝ alors une application f : ℝ → ℝ est injective si et seulement si son graphe intersecte toute droite horizontale en au plus un point. Si une application injective est aussi surjective, elle est dite bijective. Une application f de X dans Y est dite injective si On dit que l'injection préserve les différences. L'implication précédente équivaut à sa contraposée : Prenons le cas d'une station de vacances où un groupe de touristes doit être logé dans un hôtel. Les touristes souhaitent que l'application soit injective, c'est-à-dire que chacun d'entre eux ait une chambre individuelle. Considérons l'applicationf : ℝ → ℝ définie par f(x) = 2x + 1. En revanche, l'application g : ℝ → ℝ définie par g(x) = x2 n'est pas injective, parce que (par exemple) g(1) = 1 = g(−1). Portail des mathématiques

Sigma et Pi Il est possible d'additionner une infinité de nombres et d'obtenir quand même un nombre qui n'est pas infini. Je sais, c'est un peu troublant d'apprendre ça brutalement, mais un petit exemple devrait vous convaincre. Définissons les nombres suivants : a1=12, a2=a12=14, a3=a22=18, a4=a32=116, a5=a42=132,⋯ Et ainsi de suite : chaque terme est égal à la moitié du précédent. Essayons maintenant de calculer la somme : ∑∞k=1ak Heu, c'est quoi ce truc au-dessus de la somme ? C'est le symbole de l'infini. Bien, mais comment calcule-t-on ça ? Pour répondre, je vous propose un petit dessin. Commençons par prendre le premier terme de notre somme : a1=1/2=0,5. On voit que a1 occupe la moitié du segment et l'autre moitié est encore libre. a2 occupe la moitié de ce qui restait et il ne reste maintenant plus que 1/4. Encore une fois, comme a3 est égal à la moitié de a2, il occupe la moitié de ce qui reste et il n'y a maintenant plus que 1/8 de libre sur le segment. Et a5 : ∑nk=1ak=1 311=∑∞k=1bk10k. ∑∞k=1910k=1

MATHCURVE.COM Une chambre hyperbolique Peut-on imaginer une géométrie où tous les axiomes seraient satisfaits, sauf le cinquième ? C’est une question qui préoccupait beaucoup de mathématiciens jusqu’à ce qu’elle trouve une réponse au début du 19-ème siècle. Lobachevsky, Bolyai et Gauss ont prouvé que c’est possible : ils ont décrit une géométrie cohérente sans cet axiome des parallèles, appelée « géométrie hyperbolique ». Par exemple, la géométrie hyperbolique (en dimension 3) s’est avérée la clé pour placer la fameuse conjecture de Poincaré dans un contexte naturel, et ceci a mené à la magnifique solution de la conjecture de géométrisation par Perelman en 2006, discutée dans cet article). Comment un musée de sciences pourrait-il donner aux visiteurs une idée concrète de la géométrie hyperbolique ? La géométrie hyperbolique Pour essayer de répondre à cette question, il faut d’abord expliquer brièvement quelques notions de base sur ce sujet. Une remarque sont les distances (euclidiennes !) D’où vient cette formule ? . Mettons donc

Dérivée Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. La dérivée d'une fonction f est une fonction qui, à tout nombre pour lequel f admet un nombre dérivé, associe ce nombre dérivé. La dérivée en un point d'une fonction à plusieurs variables réelles, ou à valeurs vectorielles, est plus couramment appelée différentielle de la fonction en ce point, et n'est pas traitée ici. La dérivée de la fonction est notée en mathématiques ou . ), la dérivée seconde s'écrivant alors grâce à un tréma surmontant la lettre. En sciences, lorsqu'une grandeur est fonction du temps, la dérivée de cette grandeur donne la vitesse instantanée de variation de cette grandeur, et la dérivée de la dérivée donne l'accélération. On généralise la notion de dérivée en étendant celle-ci au champ complexe et on parle alors de dérivée complexe. Il existe aussi une définition purement algébrique de la dérivée. Approche intuitive[modifier | modifier le code] Si on se donne une abscisse pour laquelle la fonction en . Soit Pour tout tel que et .

Le site de l’APMEP (Association des Professeurs de Mathématiques de l'Enseignement Public) Géométrie hyperbolique En mathématiques, la géométrie hyperbolique (nommée parfois géométrie de Lobatchevski) est une géométrie non euclidienne vérifiant les quatre premiers postulats de la géométrie euclidienne, mais pour laquelle le postulat euclidien des parallèles est remplacé par le postulat que « par un point extérieur à une droite passe plus d'une droite parallèle ». On démontre qu'alors il y a une infinité de droites parallèles. En géométrie hyperbolique, le théorème de Pythagore n'est plus valable et la somme des angles d'un triangle n'est plus égale à 180°. Une droite est toujours définie comme la ligne de plus court chemin joignant deux points sur une surface. Lobatchevski[1], Klein et Poincaré ont créé des modèles de géométrie non euclidienne dans lesquels on peut tracer une infinité de parallèles à une droite donnée et passant par un même point. On peut citer, en deux dimensions : le disque de Poincaré, le demi-plan de Poincaré… Représentation de Poincaré. Historique[modifier | modifier le code] où .

Moyenne pondérée Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. La moyenne pondérée est la moyenne d'un certain nombre de valeurs affectées de coefficients. En statistiques, considérant un ensemble de données, et les poids non-négatifs correspondants, la moyenne pondérée est calculée suivant la formule : , quotient de la somme pondérée des par la somme des poids; soit Lorsque tous les poids sont égaux, la moyenne pondérée est identique à la moyenne arithmétique. D'autres types de moyennes ont une version pondérée ; par exemple, il existe une moyenne géométrique pondérée ainsi qu'une moyenne harmonique pondérée. La moyenne pondérée a été utilisée dans l'enseignement primaire français depuis au moins l'époque du ministre Jules Ferry à la fin du XIXe siècle, mais a pris un regain d'intérêt avec les réalisations autour des ensembles flous. Inégalité arithmético-géométrique pondérée Portail des probabilités et de la statistique

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