La suite de Fibonacci et le nombre d’or
Rating: 3.9/5 (32 votes cast) La suite de Fibonacci doit son nom au mathématicien italien Leonardo Fibonacci qui a vécut au XIIème et XIIIème siècle. Il est connu pour avoir introduit et popularisé en Europe et en Occident la numérotation indo-arabe qui a remplacé pour les calculs la notation romaine peu pratique aux opérations arithmétiques. Mais il est aussi connu pour avoir mis en évidence une suite mathématique qui porte désormais son nom. Il suffit de prendre deux nombres de départ. La suite de Fibonacci possède de nombreuses propriétés très utilisées en mathématiques. En effet: 13/8 = 1.625 ; 21/13 = 1.61538… ; 34/21 = 1.61904…et ainsi de suite…plus on avance dans la suite de Fibonacci, plus l’écart s’amenuise, et plus le rapport des deux nombres successifs (le plus grand / le plus petit) tend vers la valeur du nombre d’or 1,61803…! Dans la nature, on retrouve très souvent des motifs basé sur la suite Fibonacci et sur le nombre d’or. Sources:
Le nombre d'or
L' histoire ... Il y a 10 000 ans : Première manifestation humaine de la connaissance du nombre d'or (temple d'Andros découvert sous la mer des Bahamas). 2800 av JC : La pyramide de Khéops a des dimensions qui mettent en évidence l'importance que son architecte attachait au nombre d'or. Vè siècle avant J-C. (447-432 av.JC) : Le sculpteur grec Phidias utilise le nombre d'or pour décorer le Parthénon à Athènes, en particulier pour sculpter la statue d'Athéna Parthénos . IIIè siècle avant J-C. : Euclide évoque le partage d'un segment en "extrême et moyenne raison" dans le livre VI des Eléments. 1498 : Fra Luca Pacioli, un moine professeur de mathématiques, écrit De divina proportione ("La divine proportion"). Au XIXème siècle : Adolf Zeising (1810-1876), docteur en philosophie et professeur à Leipzig puis Munich, parle de "section d'or" (der goldene Schnitt) et s'y intéresse non plus à propos de géométrie mais en ce qui concerne l'esthétique et l'architecture.
somme des termes d'une suite géométrique
Soit Sn la somme des n premiers termes d'une suite géométrique de premier terme a et de raison q avec q ≠ 1 et q ≠ 0. La somme Sn s' écrit donc : Sn = a + aq + aq2 + aq3 + ... ... + aqn−1 . Si on multiplie tous les termes par la raison q, nous obtenons qSn = aq + aq2 + aq3 + aq4 + ... ... + aqn . On obtient ensuite en faisant la différence entre qSn et Sn : qSn − Sn = aq + aq2 + aq3 + aq4 + ... ... + aqn − (a + aq + aq2 + aq3 + ... ... + aqn−1) qSn − Sn = aq + aq2 + aq3 + aq4 + ... ... + aqn−1 − ( aq + aq2 + aq3 + ... ... + aqn−1) − a + aqn qSn − Sn = aqn − a Sn ( q − 1 ) = a ( qn − 1 ) , On obtient donc : Sn = a ( qn − 1 ) / ( q − 1 ) car q ≠ 1 . Pour obtenir la somme des n premiers termes d'une suite géométrique, il faut multiplier le premier terme de cette suite par le quotient de la puissance niéme de la raison diminuée de 1 par la raison diminuée de 1. La formule est donc : Sn = a (1 − qn ) / (1 − q ) ou encore :
Le nombre d'or
(Vitruve, architecte romain 1er siècle avant notre ère). Ainsi si a et b sont les deux grandeurs alors nous aurons : a/b = (a + b) / a. a/b = 1 + b/a pour simplifier, prenons comme variable x = a/b. alors nous obtenons : x = 1 + 1/x x - 1 - 1/x = 0 comme x non nul, nous obtenons l'équation suivante que nous noterons (E) : x2 - x - 1 = 0 qui admet comme racine positive : x = que nous notons Φ et vaut à peu près 1,618... C'est cette valeur qui est appelée le nombre d'or (dit Φ (phi) en hommage au sculpteur grec Phidias qui s'en servit dans les proportions du Parthénon à Athènes. A ce stade, je vous soumets un petit problème que m'a proposé Dominique Payeur : Je dispose d'un capital. Nous pouvons d'ores et déjà noter quelques résultats : On pourrait aussi sans équation du second degré montrer que 1/Φ = Φ - 1. Des équations précédentes, nous pouvons déduire : x2 = x + 1 et x = 1 + 1/x d'où et on a aussi : Le nombre d’or peut s’écrire à l’aide d’une infinité de radicaux emboîtés Les FRACTIONS
suite de Fibonacci et le nombre d'or
calcul des termes de la suite - propriétés de la suite - démontration que (un+1 / un) tend vers le nombre d'or La suite de Fibonacci tient son nom du mathématicien italien Leonardo Fibonacci, qui a vécu à Pise au XIIème siècle (1175-1240), d'où son nom de Léonard de Pise, en référence à Léonard de Vinci. La suite de Fibonacci se construit facilement : chaque terme de la suite, à partir du rang 2, s'obtient en additionnant les deux précédents, les deux premiers termes étant 0 et 1. Appelons (un) la suite de Fibonacci. on a alors un+2 = un+1 + un. Chaque terme de cette suite, à partir du rang 2, est donc la somme des deux termes précédents. La suite de Fibonacci n'est ni arithmétique, ni géométrique. En effet, u1 − u0 = 1 − 0 = 1 et u2 − u1 = 1 − 1 = 0. Son premier terme étant 0, elle ne peut être géométrique. Calcul des termes de la suite Fibonacci En calculant les termes de la suite, on constate que les termes de la suite de Fibonacci sont très rapidement élevés. Initialisation Pour n = 2 et
