Autour des équations de Navier-Stokes. Professeur à l'Institut de Mathématiques de Jussieu Université Paris 7 (page web) La mécanique des fluides : des Grecs à Bernoulli (un bref aperçu historique) La mécanique des fluides est l’étude du comportement de fluides (liquides et gaz). Leur étude remonte à l’Antiquité, avec Archimède (287-212 av. J. -C.), qui découvre notamment que tout corps plongé dans un liquide (ou un gaz) reçoit une poussée, qui s’exerce de bas en haut, et qui est égale au poids du volume de liquide déplacé. Archimède On peut citer aussi Héron d’Alexandrie (10-70) qui a étudié la pression des gaz, et a construit en particulier des machines à vapeur, et des automates de théâtre. Après une longue interruption, l’étude des fluides reprend un essor véritable au XVème siècle, avec Leonardo da Vinci (1452-1519).
Un tourbillon vu par de Vinci C’est au XVIème siècle que commence la mathématisation de la physique, avec notamment l’introduction d’outils algébriques destinés à rendre compte de réalités physiques. Newton Euler. ModM2-3. Meca1321-cours5. CISM08_4. Équations de Navier-Stokes. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. Pour les articles homonymes, voir Stokes. En mécanique des fluides, les équations de Navier-Stokes sont des équations aux dérivées partielles non linéaires qui sont censées décrire le mouvement des fluides « newtoniens » (liquide et gaz visqueux ordinaires) dans l’approximation des milieux continus.
La résolution de ces équations modélisant un fluide comme un milieu continu à une seule phase incompressible, si elle est possible, est ardue. La cohérence mathématique de ces équations non linéaires n'est pas démontrée. Elles sont nommées d'après deux scientifiques du XIXe siècle, le mathématicien et ingénieur des Ponts, Henri Navier, et le physicien George Gabriel Stokes, le choix oubliant le rôle intermédiaire du physicien Barré de Saint-Venant. La résolution des équations de Navier-Stokes constitue l'un des problèmes du prix du millénaire[1]. Lois de conservation[modifier | modifier le code] Dans ces équations : Remarques : où : Remarque : .
Où et . Approximation de lubrification. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. Mince couche de liquide mélangée à des particules, coulant le long d'un plan incliné. Lorsqu'un liquide est fortement confiné entre deux surfaces, c'est-à-dire que l'épaisseur de liquide est très faible devant les dimensions transversales des parois confinantes, il est possible de simplifier fortement l'équation de Navier-Stokes qui gouverne son écoulement : c'est l'approximation de lubrification, qui permet en particulier de décrire l'écoulement du liquide dans les contacts lubrifiés.
Exemples de situations de lubrification[modifier | modifier le code] Conditions d'application de l'approximation de lubrification[modifier | modifier le code] Lorsque (où est l'épaisseur moyenne entre les parois, et est la dimension transversale caractéristique des parois), alors : Un aspect essentiel de cette approximation est que l'on peut négliger le terme inertiel -retrouvant ainsi l'équation de Stokes- lorsque dès lors que est très grand devant où : et On note . . .