Théorème d'incomplétude de Gödel. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Les théorèmes d'incomplétude de Gödel sont deux théorèmes célèbres de logique mathématique, démontrés par Kurt Gödel en 1931 dans son article Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme (en) « Sur les propositions formellement indécidables des Principia Mathematica et des systèmes apparentés »). Ces théorèmes ont trait aux mathématiques. Énoncé de façon certes approximative, le premier dit essentiellement qu'une théorie suffisante pour faire de l'arithmétique est nécessairement incomplète, au sens où il existe dans cette théorie des énoncés qui ne sont pas démontrables et dont la négation n'est pas non plus démontrable : c'est-à-dire qu'il existe des énoncés que l'on ne pourra jamais déterminer en restant dans le cadre de la théorie. Le second problème de la célèbre liste que Hilbert présenta en 1900 à Paris était celui de la démonstration de la cohérence de l'arithmétique.
Donnons en une preuve. Complétude. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Cette page d’homonymie répertorie les articles traitant de différentes notions mathématiques avec une dénomination commune. On parle de complétude en mathématiques dans des sens très différents. On dit d'un objet mathématique qu'il est complet pour exprimer que rien ne peut lui être ajouté, en un sens qu'il faut préciser dans chaque contexte. Dans le cas contraire, on parle d'incomplétude, surtout dans le contexte de la logique mathématique. Théorie des ensembles. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
La théorie des ensembles est une branche des mathématiques, créée par le mathématicien allemand Georg Cantor à la fin du XIXe siècle. La théorie des ensembles se donne comme primitives les notions d'ensemble et d'appartenance, à partir desquelles elle reconstruit les objets usuels des mathématiques : fonctions, relations, entiers naturels, relatifs, rationnels, nombres réels, complexes… C'est pourquoi la théorie des ensembles est considérée comme une théorie fondamentale dont Hilbert a pu dire qu'elle était un « paradis » créé par Cantor pour les mathématiciens. En plus de proposer un fondement aux mathématiques, Cantor introduisait avec la théorie des ensembles des concepts radicalement nouveaux, et notamment l'idée qu'il existe plusieurs types d'infini que l'on peut mesurer et comparer au moyen de nouveaux nombres (ordinaux et cardinaux). Les origines de la théorie des ensembles[modifier | modifier le code] Genèse[modifier | modifier le code]
Principia Mathematica. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Cape du résumé du Principia Mathematica to *56. Contenu[modifier | modifier le code] Les Principia englobent la théorie des ensembles, avec les nombres cardinaux les nombres ordinaux, ainsi que les nombres réels. Des théorèmes plus avancés de l'analyse réelle n'ont pas été inclus. Un quatrième volume était initialement prévu, mais n'a jamais été réalisé[1]. Édition résumée[modifier | modifier le code] Il existe une édition résumée[3] à mi-chemin entre l'œuvre complète et le livre moins technique de 1919 de Russell[4],[5],[6], Introduction à la philosophie mathématique. Importance du traité[modifier | modifier le code] Le Principia est considéré comme un des livres les plus influents de l'histoire de la logique, comparable en cela à l'Organon d'Aristote[7]. La Modern Library (en) l'a classé 23e d'une liste comprenant les cent plus importants livres en anglais de non-fiction du vingtième siècle[8].
Références[modifier | modifier le code]