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Mathématiques Appliquées

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Courbe de Bézier. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. Les courbes de Bézier sont des courbes polynomiales paramétriques décrites pour la première fois en 1962 par Pierre Bézier (ingénieur Arts et Métiers et Supélec à la régie Renault dans les années 1950) qui les utilisait pour concevoir des pièces d'automobiles à l'aide d'ordinateurs. Elles ont de nombreuses applications dans la synthèse d'images et le rendu de polices de caractères. Elles ont donné naissance à de nombreux autres objets mathématiques. Exemple de construction de courbe de Bézier. Théorie générale[modifier | modifier le code] Pour n+1 points de contrôle ( ), on définit une courbe de Bézier par l'ensemble des points , avec et où les sont les polynômes de Bernstein.

La suite des points forme le « polygone de contrôle de Bézier ». Remarque Puisque , la courbe est correctement définie. Propriétés[1] : Technique[modifier | modifier le code] Quatre points P0, P1, P2 et P3 définissent une courbe de Bézier cubique. Pour 0 ≤ ≤ 1. . Ou et du polynôme : B-spline. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. En mathématiques, une B-spline est une combinaison linéaire de splines positives à support compact minimal. Les B-splines sont la généralisation des courbes de Bézier, elles peuvent être à leur tour généralisées par les NURBS. Définition[modifier | modifier le code] Étant donné m+1 nœuds ti dans [0, 1] avec une courbe spline de degré est une courbe paramétrique composée de fonctions B-splines de degré n où les Pi forment un polygone appelé polygone de contrôle ; le nombre de points composant ce polygone est égal à m-n.

Les m-n fonctions B-splines de degré n sont définies par récurrence sur le degré inférieur : Par extension, lorsque deux nœuds successifs et sont confondus, on pose Propriétés[modifier | modifier le code] La forme des fonctions de base est déterminée par la position des nœuds. La courbe est à l'intérieur de l'enveloppe convexe des points de contrôle. Une B-spline de degré n est non nulle dans l'intervalle [ti, ti+n+1] : Série de Fourier. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

L'étude d'une fonction périodique par les séries de Fourier comprend deux volets : l'analyse, qui consiste en la détermination de la suite de ses coefficients de Fourier ;la synthèse, qui permet de retrouver, en un certain sens, la fonction à l'aide de la suite de ses coefficients. Au-delà du problème de la décomposition, la théorie des séries de Fourier établit une correspondance entre la fonction périodique et les coefficients de Fourier. De ce fait, l'analyse de Fourier peut être considérée comme une nouvelle façon de décrire les fonctions périodiques.

Les séries de Fourier se rencontrent principalement dans la décomposition de signaux périodiques, dans l'étude des courants électriques, des ondes cérébrales, dans la synthèse sonore, le traitement d'images, etc. Préliminaire[modifier | modifier le code] Soient D un sous-ensemble non vide de et une fonction réelle dont l'ensemble de définition est D . est un sous-groupe muni de la loi + de R. avec. Transformée de Laplace. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. Pour les articles homonymes, voir Laplace.

En mathématiques, la transformation de Laplace est une transformation intégrale, c'est-à-dire une opération associant à une fonction ƒ(t) (à valeur dans ou dans ) une nouvelle fonction dite transformée de Laplace de ƒ(t), notée traditionnellement F(p), via une intégrale. la transformée de Laplace de la dérivée ƒ'(t) est simplement pF(p) - ƒ(0-),et la transformée de la fonction « décalée » ƒ(t - τ) est simplement e-pτF(p). Cette transformation fut introduite pour la première fois sous une forme proche de celle utilisée par Laplace en 1774, dans le cadre de la théorie des probabilités. Dans ce type d'analyse, la transformation de Laplace est souvent interprétée comme un passage du domaine temps, dans lequel les entrées et sorties sont des fonctions du temps, dans le domaine des fréquences, dans lequel les mêmes entrées et sorties sont des fonctions de la « fréquence » (complexe) p.

Soit, pour un réel β, . Méthode des moindres carrés. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. Illustration de la méthode des moindres carrés. Les données suivent la courbe figurée en pointillés et sont affectées par un bruit gaussien centré, de variance 1. Le meilleur ajustement déterminé par la méthode des moindres carrés est représenté en rouge. La méthode des moindres carrés, indépendamment élaborée par Legendre en 1805 et Gauss en 1809, permet de comparer des données expérimentales, généralement entachées d’erreurs de mesure, à un modèle mathématique censé décrire ces données. Ce modèle peut prendre diverses formes. Il peut s’agir de lois de conservation que les quantités mesurées doivent respecter. Présentation de la méthode[modifier | modifier le code] Dans le cas le plus courant, le modèle théorique est une famille de fonctions d’une ou plusieurs variables muettes x, indexées par un ou plusieurs paramètres inconnus.

La méthode consiste en une prescription (initialement empirique), qui est que la fonction. . , les paramètres où les . Approximation de Bernstein. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. définie sur l'intervalle par une suite de combinaisons linéaires des polynômes de Bernstein. Cela donne une version constructive du théorème de Stone-Weierstrass. Ces polynômes sont de la forme pour un entier , où éléments (sans les distinguer) parmi . Par la fonction On construit à partir des valeurs de aux points 0, 1/n, …, (n-1)/n, 1 mais, en ces points, la valeur de peut être différente de celle de La convergence uniforme de vers s'énonce donc de la façon suivante : pour tout , il existe un entier tel que : pour tout entier et tout Il convient de noter que si est une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres , alors n'est rien d'autre que l'espérance de , c'est-à-dire la moyenne de appliquée au nombre de succès de expériences indépendantes de probabilité .

(c'est-à-dire pour chaque point ) vers est alors une conséquence immédiate de la loi faible des grands nombres. . , on en déduit facilement la convergence uniforme de S. Portail de l’analyse.