Loops. Spherical harmonics. Visual representations of the first few real spherical harmonics. Blue portions represent regions where the function is positive, and yellow portions represent where it is negative. In mathematics, spherical harmonics are the angular portion of a set of solutions to Laplace's equation. Represented in a system of spherical coordinates, Laplace's spherical harmonics are a specific set of spherical harmonics that forms an orthogonal system, first introduced by Pierre Simon de Laplace in 1782.[1] Spherical harmonics are important in many theoretical and practical applications, particularly in the computation of atomic orbital electron configurations, representation of gravitational fields, geoids, and the magnetic fields of planetary bodies and stars, and characterization of the cosmic microwave background radiation.
History[edit] Spherical harmonics were first investigated in connection with the Newtonian potential of Newton's law of universal gravitation in three dimensions. . Which fulfill. Chaîne de Steiner. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. Une chaîne de Steiner fermée de douze cercles de Steiner (en noir); les deux cercles de départ sont en bleu (extérieur) et en rouge (intérieur). Les chaînes de Steiner sont nommées ainsi d'après le mathématicien suisse Jakob Steiner (1796 - 1863)[1],[2],[3]. Un résultat fondamental est le porisme de Steiner[4] qui dit : S'il existe une chaîne de Steiner fermée pour une paire de cercles de départ, alors il en existe une infinité.
Terminologie et variantes[modifier | modifier le code] Terminologie[modifier | modifier le code] Il est commode de voir une chaîne de Steiner comme formée d'une succession de cercles, appelés « cercles de Steiner », commençant par un cercle « initial » et se terminant par un cercle « final ». Quant aux cercles de départ, la seule condition est qu'ils ne se touchent pas et ne se coupent pas. Variantes[modifier | modifier le code] En plus du cas standard, il existe plusieurs variantes. Variantes de contact1. Généralisations et. L'homme ressemble à un cercle - Rav Benchetrit. Cercle. Circle, Kreis Un cercle est un lieu formé des points du plan équidistants d'un point fixe.
Il peut être défini comme "conique circulaire" ou "conique propre d’excentricité nulle", ou "courbe à courbure constante et torsion nulle". Les courbes à normale constante ( N = cte, cf. notations ) sont les cercles centré sur Ox (plus les droites parallèles à Ox ). La quadrature du cercle par morphing... © Robert FERRÉOL 2013. Cercle d'Euler. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. En géométrie, le cercle d'Euler d'un triangle (aussi appelé cercle des neuf points, cercle de Feuerbach, cercle de Terquem, cercle médian) est l'unique cercle passant par les neuf points remarquables suivants : Les trois milieux des trois côtés du triangle ;Le pied de chacune des trois hauteurs du triangle ;Le milieu de chacun des trois segments reliant l'orthocentre à un sommet du triangle.
Définition et propriétés élémentaires[modifier | modifier le code] C'est le mathématicien Leonhard Euler qui a remarqué le premier que dans un triangle quelconque ( ) le centre de gravité , le centre du cercle circonscrit et l'orthocentre sont alignés. Et de rapport transforme en Indications[modifier | modifier le code] Le cercle des neuf points d'Euler est l'homothétique du cercle circonscrit au triangle dans les homothéties de centre G et de rapport et de centre H et de rapport L'homothétie de centre G permet de mettre en place la droite et le cercle d'Euler. et .
Giusto Bellavitis. ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges Passionné de géométrie, autodidacte, Bellavitis commença une carrière d'enseignant des mathématiques à Vicence (Vicenza en Vénétie) avant d'obtenir (1845) une chaire de géométrie à l'université de Padoue (Padova). On lui doit le concept de vecteur du plan tel qu'on l'enseigne encore aujourd'hui avec sa Méthode des équipollences (1830) et l'importante notion d'inversion géométrique, qu'il nomma transformation par rayons vecteurs réciproques.
Notons cependant que l'appellation vecteur est due à Hamilton. Bellavitis parlait de lignes équipollentes. Bellavitis développa également le calcul barycentrique, généralisant les résultats de Möbius sur le sujet. Deux bipoints (A,B) et (C,D) sont dits équipollents si [AD] et [BC] ont même milieu. La classe du couple (A,B) est alors notée ou AB (à l'américaine). Vecteur et flèches k. Courbes cycliques : Bolyai Sturm.
Théorème de Mohr-Mascheroni. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. En géométrie classique plane, le théorème de Mohr Mascheroni, démontré par Georg Mohr en 1672 et par Lorenzo Mascheroni en 1797, affirme que si une construction géométrique est possible à la règle et au compas, alors elle est possible au compas seul (sauf le tracé effectif des droites). Est considéré comme constructible tout point d'intersection de deux cercles dont les centres sont des points déjà construits et dont les rayons sont des distances entre des points déjà construits.
Présentation[modifier | modifier le code] Le théorème de Mohr-Mascheroni a été prouvé de manière indépendante par Lorenzo Mascheroni dans sa géométrie du compas (1797) et par Georg Mohr dans son Euclides Danicus (1672). L'œuvre de Georg Mohr antérieure de 125 ans au travail de Lorenzo Mascheroni est passé inaperçue et n'a été redécouverte qu'au début du XXe siècle par le géomètre danois Johannes Hjelmslev.
Quelques constructions[modifier | modifier le code] ou Somme . Cercle d'Euler. Cercle d'Apollonius. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. Construction[modifier | modifier le code] Un exemple de cercles d'Apollonius Les cercles d'Apollonius peuvent être construits comme suit. On débute avec trois cercles C1, C2 et C3, chacun d'eux étant tangent aux deux autres (dans la construction générale, ces trois cercles peuvent avoir n'importe quelle taille, tant qu'ils sont tangents). En ajoutant les deux cercles d'Apollonius aux trois cercles originaux, nous avons maintenant cinq cercles.
Prenons un des deux cercles d'Apollonius - disons C4. D'une manière similaire, nous pouvons construire un nouveau cercle C7 qui est tangent à C4, C2 et C3, et un autre cercle C8 à partir de C4, C3 et C1. En continuant la construction étape par étape de cette manière, nous pouvons ajouter nouveaux cercles à l'étape n, donnant un total de cercles après n étapes. La construction des cercles d'Apollonius possède une dimension de Hausdorff égale à 1,3057[1]. Variations[modifier | modifier le code] Cercle de Ford. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. Cercles de Ford : Un cercle est posé sur chaque fraction irréductible. Ceux-ci sont pour les fractions 0/1, 1/1, 1/2, 1/3, 2/3, 1/4, 3/4, 1/5, 2/5, 3/5, 4/5. Chaque cercle sera tangent à la droite et aux cercles voisins. Les fractions avec le même dénominateur ont des cercles de même taille. En mathématiques, le cercle de Ford est le cercle de centre associé à la fraction irréductible , une fraction sous forme simplifiée, c'est-à-dire composée d'entiers premiers entre eux.
Histoire[modifier | modifier le code] Les cercles de Ford sont nommés ainsi en l'honneur du mathématicien américain Lester Ford (père), qui les a décrits dans un article publié dans American Mathematical Monthly en 1938. Propriétés[modifier | modifier le code] Le cercle de Ford associé à la fraction irréductibe p/q est noté C[p/q] ou C[p, q]. Les cercles de Ford peuvent aussi être assimilés à des courbes dans le plan complexe. Voir aussi[modifier | modifier le code] Théorème de Descartes. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. Cercles tangents. Soient trois cercles tangents entre eux (noirs), quel peut-être le rayon d'un quatrième cercle tangent à ceux-ci ? Il existe généralement deux réponses (cercles rouges).
Les nombres sont les courbures des cercles. En géométrie, le théorème de Descartes, découvert par René Descartes, établit une relation entre quatre cercles tangents entre eux. Histoire[modifier | modifier le code] Les problèmes géométriques concernant des cercles tangents sont très anciens. Définition de la courbure[modifier | modifier le code] Le théorème de Descartes s'énonce plus simplement en utilisant la courbure du cercle.
Le signe plus dans k = ±1/r s'utilise pour un cercle qui est tangent extérieurement aux autres cercles, comme les trois cercles noirs dans la figure ci-dessus. Le théorème de Descartes[modifier | modifier le code] Si quatre cercles tangents entre eux ont pour courbure ki (pour i = 1…4), le théorème de Descartes énonce: