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Fractions continues

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Fraction continue. En mathématiques, une fraction continue ou fraction continue simple ou plus rarement fraction continuée[1] est une expression de la forme : comportant un nombre fini ou infini d'étages. On montre qu'on peut « représenter » — en un sens qui sera précisé — tout nombre réel sous forme d'une fraction continue, finie ou infinie, dans laquelle a0 est un entier relatif et les autres aj sont des entiers strictement positifs. Comme dans la notation décimale usuelle, où chaque réel est approché par des nombres décimaux de plus en plus précisément au fur et à mesure de la donnée des décimales successives, de même chaque réel est approché par des fractions étagées de la forme ci-dessus de plus en plus précisément au fur et à mesure qu'on rajoute des étages. En outre, s'il faut une infinité de décimales pour décrire exactement un nombre non décimal, il faut un développement infini en fraction continue pour décrire exactement un nombre irrationnel.

Tour d'horizon[modifier | modifier le code] En effet : Fraction continue d'un irrationnel quadratique. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. En mathématiques, et plus précisément en arithmétique, la fraction continue d'un irrationnel quadratique correspond à la représentation de ce nombre sous la forme Si le nombre irrationnel représenté est quadratique, c'est-à-dire s'il est solution d'une équation du second degré à coefficients rationnels, alors la suite d'entiers (an) est périodique à partir d'un certain rang. L'intérêt de l'étude de la fraction continue d'un irrationnel quadratique ne se résume pas à cela. La simplicité de l'algorithme permettant de déterminer les coefficients de la fraction en a fait pendant longtemps une méthode d'extraction de racine carrée. Préambule[modifier | modifier le code] Introduction sur un exemple[modifier | modifier le code] On peut calculer la fraction continue d'un irrationnel quadratique en utilisant l'identité remarquable (a + b)(a – b) = a2 – b2 à chaque étape, comme dans l'exemple suivant. et En appliquant le même algorithme sur x1 :

Cours2. Memoire fractions continues. Chapitre fraction continue. Fraccont. CoursFractionsContinues. Fiche1. 95179182. Les fractions continues. Aujourd’hui je voudrais vous parler d’une construction mathématique très jolie et injustement méconnue : les fractions continues. Vous allez voir que les fractions continues sont à la fois simples, amusantes, belles et utiles ! Que demander de plus ? Pi, ça vaut combien en gros ? Même si vous n’êtes pas un super-geek, il est vraisemblable que vous connaissiez au moins les quelques premières décimales du nombre. . , c’est un truc pratique mais forcément imparfait. . , par exemple Les fractions continues, c’est une autre manière de représenter et d’approximer des nombres réels, une alternative à l’écriture décimale.

Pour commencer, si on veut approximer et qu’on est vraiment fainéant, on peut décider de laisser tomber les chiffres après la virgule et simplement dire que C’est un peu cru, alors voyons ce que l’on peut faire de mieux. est égal à 3, plus un petit quelque chose On peut décider de prendre l’inverse de ce petit quelque chose et donc d’écrire Voilà qui est mieux que de simplement dire que . .