Attitude propositionnelle. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Une attitude propositionnelle est la manière dont un sujet se comporte par rapport à une proposition. Les attitudes propositionnelles les plus courantes sont croire que p, dire que p, penser que p, désirer que p... où p est la proposition qui est crue, dite, pensée ou désirée. Présentation générale[modifier | modifier le code] Les attitudes propositionnelles sont un sujet d'étude de la philosophie de la logique depuis la création avec Frege et Russell de la logique mathématique. Celle-ci obéit à une règle qui est le principe de substitution. Or, ce principe semble être contredit par les attitudes propositionnelles.
Selon la formule de Quine, on qualifie les attitudes propositionnelles de « contextes non extensionnels » ou « opaques », car la vérité des propositions de la forme Paul croit que p n'est pas fonction de la valeur de vérité des éléments de cette proposition. Théorie des ensembles de von Neumann–Bernays–Gödel. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
La théorie des classes a été introduite en 1925 par John von Neumann, mais celui-ci avait pris comme objets primitifs des fonctions[2]. Elle est reformulée en termes d'ensemble et d'appartenance et simplifiée par Paul Bernays vers 1930[3]. Kurt Gödel en donne une version inspirée de celle de Bernays, pour sa preuve de cohérence relative de l'axiome du choix et de l'hypothèse du continu par les constructibles, lors de conférences à Princeton en 1937-1938 (publiées en 1940). Une théorie des classes plus forte, la théorie de Morse-Kelley, a été proposée plus tard par plusieurs mathématiciens, et apparaît pour la première fois en 1955 dans le livre de topologie générale de John L. Kelley. Les classes[modifier | modifier le code] Les classes en théorie des ensembles[modifier | modifier le code] Les classes comme objets primitifs[modifier | modifier le code] Les classes et les prédicats[modifier | modifier le code] x ∈ V ssi ∃C x ∈ C.
Calcul des prédicats. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Le calcul des prédicats du premier ordre, ou calcul des relations, ou logique du premier ordre, ou tout simplement calcul des prédicats est une formalisation du langage des mathématiques proposée par les logiciens de la fin du XIXe siècle et du début du XXe siècle. Le trait caractéristique de la logique du premier ordre est l'introduction : Ceci permet de formuler des énoncés tels que « Tout x est P » et « Il existe un x tel que pour tout y, x entretient la relation R avec y » en symboles : et Le calcul des prédicats du premier ordre égalitaire adjoint au calcul des prédicats un symbole de relation, l'égalité, dont l'interprétation est obligée : c'est l'identité des éléments du modèle, et qui est axiomatisée en conséquence.
Le calcul des propositions est la partie du calcul des prédicats qui concerne ce qui ne contient pas les notions de variables, de fonctions et de prédicats et donc pas les quantificateurs . On se donne pour alphabet : ou . ? Cercle vicieux. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
On peut distinguer trois types de cercle vicieux : Cercle vicieux évolutif[modifier | modifier le code] Dans son sens le plus courant, un cercle vicieux (ou enchaînement diabolique, effet boule de neige ou encore spirale vicieuse) est un ensemble de causes et d'effets qui forment une boucle dégradant la situation, parce que l'effet négatif nourrit et amplifie les causes qui lui donnent naissance. À l'inverse, on parle de cercle vertueux ou de spirale vertueuse, lorsqu'un même mécanisme de rétroaction amplificatrice entraîne des effets positifs ou bénéfiques.
L'effet boule de neige est le meilleur exemple de cercle vicieux. Exemples de cercles vicieux évolutifs : dans l'agriculture sur brûlis, les assolements. En économie[modifier | modifier le code] L'expression est très utilisée en économie, où on observe de nombreux cas où deux phénomènes liés interagissent pour aboutir à une dégradation supplémentaire de la situation.
Modus ponens. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Pour les articles homonymes, voir Modus. Formalisation[modifier | modifier le code] La règle du modus ponens ou de détachement est une règle primitive du raisonnement. On l'écrit formellement (suivant le contexte) : ou et on peut lire : « de A et de A ⇒ B on déduit B », ou encore « A et A ⇒ B donc B », c'est-à-dire que l'on affirme A et A ⇒ B, et on en déduit que l'on peut affirmer B. Bien que l'implication et la déduction soient fortement liées, elles ne s'identifient pas, et la distinction est nécessaire pour formaliser le raisonnement. Systèmes de déduction[modifier | modifier le code] C'est souvent (mais pas nécessairement) l'unique règle d'inférence du calcul des propositions, dans les systèmes de déduction à la Hilbert, car les règles primitives des autres connecteurs s'expriment à partir d'un axiome bien choisi et du modus ponens.