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La table de 9. LES_MATHEMATIQUES_ET_LA_LOGIQUE. Loeb-nombres-surreels. Mathématiques à l'IUFM d'Alsace. Un site de Jean-Louis SIGRIST. Paradoxe de Berry. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. Le paradoxe de Berry a été formulé par Bertrand Russell en 1906. On le trouve dans un article, paru en français cette même année, de la Revue de métaphysique et de morale. Russell introduit, dans une discussion à propos du paradoxe de Richard, le « plus petit entier non nommable en moins de dix-huit syllabes qui paraît être ainsi nommé en dix-sept syllabes »[1], et attribue cette définition paradoxale à un bibliothécaire londonien, G.

G. Berry. Toujours selon Russell, c'est une simplification, qui « a le mérite de ne pas dépasser les nombres finis », du paradoxe du « plus petit ordinal indéfinissable qui semble défini par la phrase même qui annonce qu'il est indéfinissable » (forme probablement due à Russell lui-même). Ces énoncés sont repris dans l'article de Russell de 1908 sur la théorie des types. Énoncé[modifier | modifier le code] « Le plus petit entier naturel non descriptible par une expression de quinze mots ou moins. » Paradoxe de Burali-Forti. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. En mathématiques le paradoxe de Burali-Forti, paru en 1897, désigne une construction qui conduit dans certaines théories des ensembles ou théories des types trop naïves à une antinomie, c’est-à-dire que la théorie est contradictoire (on dit aussi incohérente ou inconsistante).

Dit brièvement, il énonce que, comme on peut définir la borne supérieure d'un ensemble d'ordinaux, si l'ensemble de tous les ordinaux existe, on peut définir un ordinal supérieur strictement à tous les ordinaux, d'où une contradiction. L'argument utilise donc la notion d'ordinal, c’est-à-dire essentiellement celle de bon ordre : il est plus technique, bien que l'argument ne soit pas si éloigné de celui du paradoxe de Russell qui est plus simple à comprendre et à formaliser. Énoncé du paradoxe[modifier | modifier le code] Le paradoxe utilise la notion d'ordinal, une généralisation de la notion de nombre entier naturel, en tant qu'il représente un bon ordre.

Paradoxe de Cantor. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. Le paradoxe[modifier | modifier le code] On peut déduire le paradoxe de deux façons. Pour toutes deux on utilise que tout ensemble a un cardinal et donc, implicitement, l'axiome du choix. On montre que la classe des cardinaux est équipotente à la classe des ordinaux, et donc le paradoxe de Cantor se ramène au paradoxe de Burali-Forti, il faut pour cela une forme du schéma d'axiomes de remplacement[2].On utilise le théorème de Cantor sur la cardinalité de l'ensemble des parties : si le plus grand cardinal est un ensemble, il a donc un ensemble des parties, qui a alors un cardinal strictement supérieur à ce plus grand cardinal.

Paradoxe de Cantor et paradoxe de Russell[modifier | modifier le code] Pour Cantor tout ensemble pouvait être bien ordonné et avait un cardinal. Sous cette forme, il est très proche du paradoxe de Russell, et celui-ci a d'ailleurs déclaré[3] qu'il était arrivé à son paradoxe en analysant la preuve du théorème de Cantor. Paradoxe de Richard. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. Énoncé[modifier | modifier le code] Si l'on numérote tous les nombres réels définissables en un nombre fini de mots, alors on peut construire, en utilisant l'argument de la diagonale de Cantor un nombre réel hors de cette liste. Pourtant ce nombre a été défini en un nombre fini de mots. Voici quelques détails sur la construction : Les nombres réels définissables avec un nombre fini de mots forment, de ce fait même, un ensemble dénombrable, soit E.On peut construire un réel N qui n'est pas dans E par le procédé de diagonalisation suivant : on numérote les éléments de E, puis, on choisit chaque chiffre de N de sorte que le n-ième chiffre de N soit différent du n-ième chiffre du n-ième élément, et que ce ne soit pas 9 (pour éviter la double écriture des décimaux).

Cette solution (distinguer deux niveaux de langage) n'était pas vraiment celle proposée par Richard dans son article. Notes et références[modifier | modifier le code] Paradoxe de Russell. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. Le paradoxe de Russell, ou antinomie de Russell, est un paradoxe très simple de la théorie des ensembles (Russell lui-même parle de théorie des classes, en un sens équivalent), qui a joué un rôle important dans la formalisation de celle-ci. Il fut découvert par Bertrand Russell vers 1901 et publié en 1903. Il était en fait déjà connu à Göttingen, où il avait été découvert indépendamment par Ernst Zermelo, à la même époque[1], mais ce dernier ne l'a pas publié. Énoncé du paradoxe[modifier | modifier le code] On peut formuler le paradoxe ainsi : l'ensemble des ensembles n'appartenant pas à eux-mêmes appartient-il à lui-même ?

On a immédiatement que y ∈ y ⇔ y ∉ y, donc chacune des deux possibilités, y ∈ y et y ∉ y, mène a une contradiction. Pourquoi les choses ne sont-elles pas aussi simples en théorie des ensembles ? ∃y ∀x (x ∈ y ⇔ x ∉ x) Les solutions du paradoxe[modifier | modifier le code] Origines du paradoxe[modifier | modifier le code] The principles of mathematics, vol. I. by Bertrand Russell.