Soft question - What are some deep theorems, and why are they considered deep. I can think of at least three different meanings I routinely ascribe to the word "deep" in mathematics: A theorem is deep if its proof requires some fundamental new way of thinking;A theorem is deep if the range of its consequences is much larger than might be obvious at a first glance; orA theorem is deep if it helps define - perhaps by providing a strong dividing line? - a new kind of structure. There is of course massive overlap between each of these notions, and many other meanings of "deep" that make sense in math.
But let me stick with these three for a moment. Certainly, one obviously deep result - deep in all three senses - is Goedel's Incompleteness Theorem. Conceptually, the proof requires a shift in perspective, away from the earlier sense of models of ZFC being built "canonically" (a la L) and towards a more flexible, multiverse-like view (admittedly, here, I'm imposing my own opinions to some extent).
Big list - Examples of apparent patterns that eventually fail. Dimensions. Neural_networks. Datascience. Free Mathematics Books. Scientifiques et journalistes: le syndrome du déficit (1) C’est un mythe, comme en témoignent régulièrement des gens, des deux côtés de la barrière (et davantage ces dernières années, semble-t-il). Au congrès annuel de l’Association américaine pour l’avancement des sciences (AAAS), auquel j’ai assisté à Washington à la mi-février, l’historienne des sciences Naomi Oreskes —auteure du livre Merchants of Doubt, résumé ici— le soulignait : La communication scientifique a fait une erreur conceptuelle, celle du déficit de connaissances.
Il est très clair qu’il existe beaucoup de gens très scolarisés qui n’acceptent pas le réchauffement climatique. Les gens ne nient pas le réchauffement parce qu’ils sont en déficit de connaissances; et les choses ne seraient pas soudainement différentes si ces gens possédaient plus de faits. Une intervention appuyée quelques minutes plus tard par celle du journaliste environnemental Andrew Revkin : Or, c’est oublier qu’il y a, partout, quantité de journalistes scientifiques qui « savent ».
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