Démontrer par récurrence l'expression générale d'une suite - Terminale. Elements de cours. Exos 4, 5, 6, 7 (ils sont corrigés) Fiche TS-rec1 Exercice 1 Démontrer que pour tout entier naturel $n$ on a : $$S_n = \sum_{k=0}^{n} k = 0 + 1 + 2 +\ldots+n = \dfrac{n(n+1)}{2}$$ $\quad$ Correction Exercice 1 Initialisation : Pour $n=0$ $S_n =0$ et $\dfrac{0 \times (0+1)}{2} = 0$. la propriété est vraie au rang $0$. Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$. $\begin{align} S_{n+1} &= 0+1+2+\ldots+n+(n+1) \\\\ &= S_n + (n+1) \\\\ &= \dfrac{n(n+1)}{2} + n+1\\\\ &= \dfrac{n(n+1)+2(n+1)}{2}\\\\ &= \dfrac{(n+1)(n+2)}{2} \end{align}$ La propriété est donc vraie au rang $n+1$. Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$. Par conséquent, pour tout $n \in \N$ on a $S_n = \dfrac{n(n+1)}{2}$. [collapse] Exercice 2 Démontrer par récurrence que pour tout entier $n \ge 1$, on a : $$ S_n = \sum_{k=1}^{n} k^2 = 1^2+2^2+\ldots+n^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$ Correction Exercice 2 Initialisation : Si $n=1$ alors $S_1=1^2 = 1$ et $\dfrac{1(1+1)(2\times 1 + 1)}{6} = 1$.
La propriété est vraie au rang $1$. La propriété est vraie au rang $n+1$. Exos 1, 2, 3, 4. Correction exo 1. Correction exo 2. Correction exo 3. Correction exo 4. Exo 4 question 2. Exos 5, 6, 7, 8, 9. Correction Exo 5. Correction Exo 6. Correction exo 7. Correction exo 8. Correction exo 9. Exos 10, 11, 12. Correction 11. Correction 12. Ex 11, 12, 13, 14. Correction exo 11.
Correction exo 13.