Petit résumé du théorème de Gödel. Petit résumé du théorème de Gödel 15 juin 2002 (cf.
Complexité et complication) Le théorème de Gödel [Gödel] a été publié en 1931. Il démontre que si l’on construit un système logique pour formaliser la théorie des nombres entiers, ce système contiendra au moins une formule A qui est vraie mais qui est telle que ni A, ni sa négation non-A ne pourront être formellement démontrées dans le cadre du système. Russell et Whitehead avaient tenté de fonder l'ensemble de la logique sur une base axiomatique. Cette découverte a été déchirante pour beaucoup de mathématiciens. La démonstration de Gödel est très technique et sa lecture est difficile. 1) Supposons qu’il existe une Théorie Complète (TC) fondée sur un nombre fini d'axiomes et permettant, si l’on considère une phrase quelconque, de décider sans jamais se tromper si cette phrase est vraie ou non. 2) Considérons la phrase « TC ne dira jamais que la présente phrase est vraie ».
Goedel-simple. Le théorème de Gödel et ses non-interprétations. Je donne ici plusieurs manières précises d'énoncer le théorème d'incomplétude de Gödel, ainsi qu'une esquisse de démonstration.
J'essaierai ensuite de traiter rigoureusement quelques interprétations couramment avancées de ce théorème. Pour lire ce texte, il n'est pas nécessaire d'avoir une formation spécifique en logique mathématique. Ce texte existe aussi au format ps gzippé et au format pdf. La philosophie de Kurt Gödel. Kurt Gödel constitue l'une des figures les plus marquantes de la logique mathématique au XXème siècle.
Le théorème le plus célèbre de Gödel, le théorème d'incomplétude mathématique, constitue une rupture dans l'histoire des idées. Il n'est pas exagéré de dire qu'il est à la logique ce que le cogito cartésien est à la pensée: un principe par rapport auquel tout système doit prendre position. Gödel est né en 1906 à Brno. Il étudie à Vienne à partir de 1924 et établit son théorème d'incomplétude en 1930, pour le publier en 1931. Il émigre aux Etats-Unis en 1940 et occupe un poste à l'Institute for Advanced Studies. Néanmoins, Gödel ne publia quasiment rien de ses notes philosophiques.
Je n'exposerais pas dans cet article l'ensemble de la philosophie gödelienne mais seulement un aperçu et quelques idées me semblant intéressantes. Kurt Gödel (2 avril 1906 - 14 janvier 1978) Kurt Gödel est le mathématicien qui, de tout le XXè siècle, a le plus révolutionné les fondements logiques des mathématiques.
Il était un homme tellement obsédé par la logique qu'on raconte que, alors qu'il cherchait à obtenir sa naturalisation américaine, il osa démontrer devant le juge la contradiction de certains articles de la constitution des Etats-Unis. Pourtant, il était aussi victime d'une maladie mentale, une paranoïa qui lui faisait croire qu'on cherchait à l'empoisonner, le poussa à la diète, et le fit mourir à petits feux. Kurt Gödel est né le 28 avril 1906 à Brno, à 180 kms au Sud-Ouest de Prague (empire Austro-Hongrois, actuellement République Tchèque).
Ses parents, d'origine allemande, ne sont pas des intellectuels, mais d'honnêtes travailleurs qui, à force de courage et de persévérance, réussissent à payer à leurs deux fils des études dans les meilleures écoles privées. Incomplétude, Gödel, un aperçu. Théorème d'incomplétude de Gödel (1931) La plupart des systèmes formels peuvent formuler des énoncés corrects qui ne sont ni démontrables, ni infirmables: ils sont indécidables.
Est-ce applicable à l'informatique ? Oui ! Savoir si un programme informatique va s'arrêter de calculer est une proposition indécidable. Analyser le code ? Avec les réseaux de neurones et leur auto-apprentissage (machine learning), difficile d'aller voir finement ce qui s'y passe. Indécidabilité ? Pas de risque pour les programmes actuels, ils sont encore trop basiques, occupés à faire des tris. Les théoremes d'incomplétude de Gödel - La tour d'ivoire de John Bonobo. Wikipedia : Théorie des ensembles, Kurt Gödel, Théorème d'incomplétude de Gödel, Programme de Hilbert, La liste des 23 problèmes de Hilbert Pages personnelles : Le théorème de Gödel, la vérité n'est pas toujours prouvable par Eric Andres et Laurent Signac, What is Mathematics: Gödel's Theorem and Around par Karlis Podnieks (Université de Latvia), Kurt Gödel's ontological argument par Christopher Small (Université de Waterloo, Ontario) Qu'est-ce qu'une théorie ?
Définition De manière générale, une théorie mathématique est constituée. Gödel’s Incompleteness Theorem: Ontological Mathematics vs. Science. Most people think that Gödel’s Incompleteness Theorem means something about the final answer to everything being something that can never be attained, only more and more closely approximated, because any system of logic and its axioms will always be incomplete and contain inconsistent statements inevaluable as either absolutely true or false.
Similarly, Stephen Hawking wrote in the ‘Brief History of Time’ that it seemed as though science would only ever asymptote towards a final theory of everything, but never completely get there. To properly understand Gödel, it is helpful to understand his philosophical enemies, one being Bertrand Russell. Russell wished to explain mathematics and numbers as having originated, and originating in, a more fundamental set of axioms that determined the truth or falsity of mathematical statements. Basically, he wished to prove that mathematics was a creation of the human mind, that it was a convention of logic among humans.
Mathematics is numbers. Le théorème d’incomplétude de Gödel. C’est en cours de philo que j’en ai entendu parler pour la première fois !
Notre prof nous faisait un cours sur la logique et ses fondements, et c’est alors qu’elle le mentionna : le fameux théorème de Gödel, celui qui prouve que quoi qu’on fasse, il existe des énoncés mathématiques vrais, mais indémontrables. Les mathématiques resteront à tout jamais un édifice imparfait ! J’en fus évidemment tout retourné et fasciné : comment était-il possible qu’un truc pareil existe ? Comment prouver ce résultat pouvait même être du domaine de la science ? Peut-on tout démontrer en mathématiques ?
Quand on fait des mathématiques, on manipule des énoncés. Le théorème d'incomplétude de Godel - PS n°92.