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Fonctions polynômes

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Les polynomes. Polynôme. Un polynôme, en algèbre générale, à une indéterminée sur un anneau unitaire est une expression de la forme : où X est un symbole appelé indéterminée du polynôme, supposé être distinct de tout élément de l'anneau, les coefficients ai sont dans l'anneau, et n est un entier naturel.

Polynôme

Considérations historiques[modifier | modifier le code] L'histoire des polynômes est inséparable de celle de l'algèbre. Initialement créés pour résoudre des équations, ils se trouvent confondus avec les fonctions polynomiales. Au fur et à mesure que les recherches s'approfondissent, il se révèle nécessaire de distinguer plus nettement le polynôme formel de la fonction polynomiale. Polynômes formels[modifier | modifier le code] Un polynôme f à une indéterminée est défini comme une expression formelle de la forme où les coefficients a0, .., an sont éléments d'un anneau A, et X est un symbole formel appelé indéterminée du polynôme. , c'est le plus grand exposant de X devant lequel le coefficient n'est pas nul. Degré d'un polynôme. Par exemple, le polynôme 7X2Y3 + 4X – 9 a trois monômes.

Degré d'un polynôme

Le premier est de degré 2 + 3 = 5, le deuxième (4X1Y0) de degré 1, et le dernier (–9X0Y0) de degré 0. Coefficients et degrés des termes d'un polynôme. Polynôme du second degré : définition - coefficients - pièges à éviter - Première S - ES -STI. Polynôme du second degré : Les 3 techniques pour écrire sous forme canonique - Première S ES STI. Équations du Second degré et sup. Polynômes et fractions rationnelles. GRANDS CLASSIQUES DE CONCOURS : POLYNOMES.

PolynomesBernstein. Méthodes de quadrature de Gauss. Les formules de Gauss jouent un rôle fondamental dans la méthode des éléments finis.

Méthodes de quadrature de Gauss

Principe général[modifier | modifier le code] On souhaite évaluer numériquement l'intégrale Le domaine d'intégration (a, b) couvre plusieurs cas : intervalles bornés : comme [a, b], [a, b[, etc.demi-droite réelle : [a, +∞[, ] -∞, b],la droite réelle tout entière : ℝ. Les méthodes sont de la forme où est une fonction de pondération continue strictement positive, qui peut assurer l'intégrabilité de f. Sont appelés les coefficients de quadrature (ou poids). Théorème fondamental[modifier | modifier le code] Pour n donné : Les n nœuds xi sont réels, distincts, uniques et sont les racines du polynôme unitaire de degré n, orthogonal au sous-espace des polynômes de degré n-1 pour le produit scalaire Le domaine d'intégration et la fonction de pondération déterminent le type de la quadrature de Gauss.

Une fois le type de quadrature choisi, la formule à n points s'écrit : On définit l'erreur comme . On cherche à déterminer . [UT#26] Construction des polynômes interpolateurs de Lagrange. [UT#27] Autour du phénomène de Runge. Polynômes de Legendre. ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges Ce sont les polynômes, notés ici Pn , de degré n, vérifiant Pn(1) = 1 et définis sur l'intervalle [-1,1] orthogonaux pour le produit scalaire (cf. exercice 1) de densité Φ = 1 : Ces polynômes, issus de travaux de Legendre en théorie du potentiel se rencontrent dans la recherche des solutions de l'équation de Laplace, dites fonctions harmoniques.

Polynômes de Legendre

Ils ont donc un rôle important en physique mathématique. Équation de Laplace, notion de potentiel : » Ils sont utilisés pour l'approximation en moyenne quadratique des fonctions sur un intervalle [a,b], que l'on ramène à [-1,1] par changement de variable : ainsi que pour le calcul approché des intégrales. ➔ Approcher une fonction f en moyenne quadratique par une fonction g sur [a,b] consiste à minimiser la valeur moyenne de l'erreur quadratique (f - g)2 sur cet intervalle. Courbes de Bézier. Spline (mathematics) Single knots at 1/3 and 2/3 establish a spline of three cubic polynomials meeting with C2 continuity.

Spline (mathematics)

Triple knots at both ends of the interval ensure that the curve interpolates the end points In the computer science subfields of computer-aided design and computer graphics, the term spline more frequently refers to a piecewise polynomial (parametric) curve. Splines are popular curves in these subfields because of the simplicity of their construction, their ease and accuracy of evaluation, and their capacity to approximate complex shapes through curve fitting and interactive curve design. The term spline comes from the flexible spline devices used by shipbuilders and draftsmen to draw smooth shapes. The term "spline" is used to refer to a wide class of functions that are used in applications requiring data interpolation and/or smoothing. We begin by limiting our discussion to the univariate polynomial case. . , the set of real numbers, We want S to be piecewise defined.

Spline Command - GeoGebra Manual. From GeoGebra Manual Spline( <List of Points> ) Spline( <List of Points>, <Order ≥ 3> ) Creates a spline with given order through all points.

Spline Command - GeoGebra Manual

Spline( <List of Points>, <Order ≥ 3>, <Weight Function> ) Creates a spline with given order through all points.