Symmetrie (Physik) Dieser Artikel wurde den Mitarbeitern der Redaktion Physik zur Qualitätssicherung aufgetragen.
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Sie wurde 1895 von Diederik Korteweg und Gustav de Vries zur Analyse von Flachwasserwellen in engen Kanälen vorgeschlagen, wurde zuvor aber schon von Boussinesq 1877 untersucht. Sie beschreibt Solitonen, die in Wasserkanälen erstmals 1834 von John Scott Russell beobachtet wurden. 1965 konnten Norman Zabusky und Martin Kruskal das quasi-periodische Verhalten im Fermi-Pasta-Ulam-Experiment erklären, indem sie zeigten, dass die KdV-Gleichung den kontinuierlichen Grenzfall darstellt.
Schrödingergleichung. Die Schrödingergleichung ist die der ungestörten zeitlichen Entwicklung von nichtrelativistischen Quantensystemen zugrundeliegende Differentialgleichung.
Sie beschreibt die Dynamik des quantenmechanischen Zustands eines Systems, solange an diesem keine Messung vorgenommen wird. Sie ist damit eine grundlegende Gleichung der nichtrelativistischen Quantenmechanik. Die Gleichung wurde 1926 von Erwin Schrödinger (1887–1961) zuerst als Wellengleichung aufgestellt[1] und schon bei ihrer ersten Anwendung erfolgreich zur Erklärung der Spektren des Wasserstoffatoms genutzt.
Die Schrödingergleichung besagt, dass die zeitliche Veränderung eines Zustands durch seine Energie bestimmt ist. In der Gleichung tritt die Energie nicht als skalare Größe auf, sondern als Operator (Hamiltonoperator), der auf den Zustand angewandt wird. Wenn das Quantensystem ein klassisches Analogon hat (z. Die Schrödingergleichung bildet das Fundament für fast alle praktischen Anwendungen der Quantenmechanik. Dabei bezeichnet. Magnetohydrodynamik. Typische Anwendungsgebiete der MHD sind die Strömungsbeeinflussung und die Strömungsmessung in Metallurgie und Halbleitereinkristallzüchtung sowie die Beschreibung von Plasmen in stellaren Atmosphären und Fusionsreaktoren.
Theorie[Bearbeiten] Ein Beispiel für eine solche Größe ist die Fließgeschwindigkeit eines Flusses. Insgesamt bewegt sich das Flusswasser in eine Richtung auf das Meer zu. Jedes einzelne Wassermolekül kann sich dabei aber durchaus „kreuz und quer“ bewegen, da es andauernd mit anderen Molekülen wechselwirkt. Entscheidend für das makroskopische Verhalten ist nur, dass die mittlere Geschwindigkeit der Fließgeschwindigkeit entspricht. So ähnlich ist es auch bei der MHD.
Üblicherweise werden noch einige weitere Näherungen gemacht. Maxwell-Gleichungen. Die Maxwell-Gleichungen von James Clerk Maxwell beschreiben die Phänomene des Elektromagnetismus.
Sie sind damit ein wichtiger Teil des modernen physikalischen Weltbilds. Die Gleichungen beschreiben, wie elektrische und magnetische Felder untereinander sowie mit elektrischen Ladungen und elektrischem Strom unter gegebenen Randbedingungen zusammenhängen. Zusammen mit der Lorentzkraft erklären sie alle Phänomene der klassischen Elektrodynamik.
Navier-Stokes-Gleichungen. Die Navier-Stokes-Gleichungen [navˈjeː stəʊks] (nach Claude Louis Marie Henri Navier und George Gabriel Stokes) beschreiben die Strömung von newtonschen Flüssigkeiten und Gasen.
Die Gleichungen sind somit eine Erweiterung der Euler-Gleichungen um die innere Reibung oder Viskosität. Im engeren Sinne, insbesondere in der Physik, ist mit Navier-Stokes-Gleichungen die Impulsgleichung[1] für Strömungen gemeint. Im weiteren Sinne,[2] insbesondere in der Numerischen Strömungsmechanik, wird diese Impulsgleichung um die Kontinuitätsgleichung und die Energiegleichung erweitert und bildet dann ein System von nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung. Dieses ist das grundlegende mathematische Modell der Strömungsmechanik. Insbesondere bilden die Gleichungen Turbulenz und Grenzschichten ab. Euler-Gleichungen. Die Euler-Gleichungen oder auch eulersche Gleichungen (nach Leonhard Euler) sind ein mathematisches Modell zur Beschreibung der Strömung von reibungsfreien Fluiden.
Es handelt sich um ein partielles Differentialgleichungssystem 1. Burgersgleichung. Wellengleichung. Die homogene Wellengleichung ist die lineare partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung für eine reelle oder komplexe Funktion und einen Parameter .
Sie heißt auch d'Alembert-Gleichung und zählt zu den hyperbolischen Differentialgleichungen. Mit Hilfe des d’Alembert-Operators , wobei. Wärmeleitungsgleichung. Modell eines Heizrohres, welches über eine Metallverstrebung abgekühlt wird.
Laplace-Gleichung. Lösung der Laplace-Gleichung auf einem Kreisring mit den Dirichlet-Randwerten u(r=2)=0 und u(r=4)=4sin(5*θ) Die Laplace-Gleichung (nach Pierre-Simon Laplace) ist die elliptische partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung für eine skalare Funktion , wobei den Laplace-Operator darstellt.
Poisson-Gleichung. Die Poisson-Gleichung, benannt nach dem französischen Mathematiker und Physiker Siméon Denis Poisson, ist eine elliptische partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung, die als Teil von Randwertproblemen in weiten Teilen der Physik Anwendung findet. Mathematische Formulierung[Bearbeiten] Anfangsbedingung. Praktisch jede Differentialgleichung erlaubt an sich unendlich viele Lösungen. Eine Anfangsbedingung trifft unter all diesen Lösungen eine Auswahl. Manchmal erfüllen mehrere, manchmal eine einzige, manchmal gar keine der Lösungen die Anfangsbedingung. Wer zu einer Differentialgleichung eine Anfangsbedingung hinzufügt, stellt damit ein Anfangswertproblem. Eine besonders spannende Frage lautet dabei, wie eine Anfangsbedingung zu einer gegebenen Differentialgleichung beschaffen sein muss, damit das entstehende Anfangswertproblem genau eine eindeutig bestimmte Lösung zulässt.
Praktische Bedeutung[Bearbeiten] Gewöhnliche Differentialgleichung. Eine gewöhnliche Differentialgleichung (oft abgekürzt mit GDGL oder ODE, englisch ordinary differential equation) ist eine Differentialgleichung, bei der zu einer gesuchten Funktion nur Ableitungen nach genau einer Variablen auftreten. Viele naturwissenschaftliche Modelle nutzen gewöhnliche Differentialgleichungen, um Vorhersagen zu ermöglichen. Herkunft[Bearbeiten] Differentialgleichungen werden oft benötigt, um Vorgänge in der Natur zu beschreiben, bei denen das Änderungsverhalten von Größen verglichen wird. Die ersten Differentialgleichungen waren die der gleichmäßigen und gleichmäßig beschleunigten Bewegung. Im Jahr 1590 erkannte Galileo Galilei den Zusammenhang zwischen der Fallzeit eines Körpers und seiner Fallgeschwindigkeit sowie dem Fallweg und formulierte (noch) mit geometrischen Mitteln das Gesetz des freien Falles.
Allgemeine Definition[Bearbeiten] Seien und. Bewegungsgleichung. Unter einer Bewegungsgleichung versteht man eine mathematische Gleichung (oder auch ein Gleichungssystem), die die räumliche und zeitliche Entwicklung eines mechanischen Systems unter Einwirkung äußerer Einflüsse vollständig beschreibt. In der Regel handelt es sich um Systeme von Differentialgleichungen zweiter Ordnung. Diese Differentialgleichungen werden bei vielen Systemen nichtlinear, sodass man bei der Lösung geeignete Näherungsverfahren anwenden muss. Prinzipien[Bearbeiten] Zum Aufstellen von Bewegungsgleichungen in der klassischen Physik wird verwendet. Numerische Mathematik. ...our central mission is to compute quantities that are typically uncomputable, from an analytical point of view, and to do it with lightning speed. (Lloyd N. Trefethen, The Definition of Numerical Analysis, SIAM, 1992) Überblick[Bearbeiten] Interesse an solchen Algorithmen besteht meist aus einem der folgenden Gründe:
Mathematisches Modell. Ein mathematisches Modell verwendet mathematische Notation zur Beschreibung eines Systems, z. B. aus der Physik, der Biologie oder den Sozialwissenschaften und ermöglicht damit die systematische Erforschung des Themas mit mathematischen Methoden. Der Prozess zur Erstellung wird als Modellierung bezeichnet. Partielle Ableitung. Definition[Bearbeiten] Differentialgleichung. Partielle Differentialgleichung. Eine partielle Differentialgleichung (Abkürzung PDG oder PDGL, beziehungsweise PDE für engl. partial differential equation) ist eine Differentialgleichung, die partielle Ableitungen enthält.