background preloader

Golikova.nastya

Facebook Twitter

Nastya

Общая схема исследования функции и построения графиков. (Лекция N 11) Найти ОДЗ и точки разрыва функции.

Общая схема исследования функции и построения графиков. (Лекция N 11)

Найти точки пересечения графика функции с осями координат. Провести исследование функции с помощью первой производной, то есть найти точки экстремума функции и интервалы возрастания и убывания. Исследовать функцию с помощью производной второго порядка, то есть найти точки перегиба графика функции и интервалы его выпуклости и вогнутости. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба. (Лекция N 10) Итак, уравнение кривой имеет вид y = f(x). Обозначим ординату касательной, соответствующую абсциссе x. Тогда . Следовательно, разность ординат кривой и касательной при одном и том же значении x будет. Экстремумы функции. Рассмотрим график непрерывной функции y=f(x), изображенной на рисунке. Значение функции в точке x1 будет больше значений функции во всех соседних точках как слева, так и справа от x1. В этом случае говорят, что функция имеет в точке x1 максимум.

В точке x3 функция, очевидно, также имеет максимум. Если рассмотреть точку x2, то в ней значение функции меньше всех соседних значений. В этом случае говорят, что функция имеет в точке x2 минимум. Функция y=f(x) в точке x0 имеет максимум, если значение функции в этой точке больше, чем ее значения во всех точках некоторого интервала, содержащего точку x0, т.е. если существует такая окрестность точки x0, что для всех x≠x0, принадлежащих этой окрестности, имеет место неравенство f(x)<f(x0). Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей 0/0 и ∞/∞. (Лекция N 8) Ранее мы познакомились с примерами нахождения пределов отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций, то есть раскрытия неопределенностей вида 0/0 и ∞/∞. Сейчас рассмотрим новое правило раскрытия этих неопределенностей.

Теорема (правило Лопиталя). Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки a, за исключением, быть может, самой точки a, и пусть или. Геометрический смысл дифференциала. (Лекция N 7) Пусть имеем функцию y=f(x), где x – независимая переменная. Тогда дифференциал этой функции dy=f'(x)dx также зависит от переменной x, причем от x зависит только первый сомножитель f'(x) , а dx = Δx от x не зависит (приращение в данной точке x можно выбирать независимо от этой точки). Рассматривая dy как функцию x, мы можем найти дифференциал этой функции. Дифференциал от дифференциала данной функции y=f(x) называется вторым дифференциалом или дифференциалом второго порядка этой функции и обозначается d2y: d(dy)=d2y. Найдем выражение второго дифференциала. Т.к. dx от x не зависит, то при нахождении производной его можно считать постоянным, поэтому.

Теорема о производной обратной функции. (Лекция N 6) Дифференцирование многих функций упрощается, если их предварительно прологарифмировать. Для этого поступают следующим образом. Производные некоторых основных элементарных функций. (Лекция N 5) Y = xn. Если n – целое положительное число, то, используя формулу бинома Ньютона: (a + b)n = an+n·an-1·b + 1/2∙n(n – 1)an-2∙b2+ 1/(2∙3)∙n(n – 1)(n – 2)an-3b3+…+ bn,можно доказать, чтоИтак, если x получает приращение Δx, то f(x+Δx) = (x + Δx)n, и, следовательно,Δy=(x+Δx)n – xn =n·xn-1·Δx + 1/2·n·(n–1)·xn-2·Δx2 +…+Δxn.Заметим, что в каждом из пропущенных слагаемых есть множитель Δx в степени выше 3.Найдем пределМы доказали эту формулу для n Î N.

Бесконечно большие и бесконечно малые функции. (Лекция N 2) Функция y=f(x) называется бесконечно малой при x→a или при x→∞, если или. Непрерывные функции. Рассмотрим некоторые свойства функций непрерывных на отрезке. Эти свойства приведём без доказательства. Функция, непрерывная на отрезке [ , ], хотя бы в одной точке этого отрезка принимает наибольшее значение и хотя бы в одной – наименьшее. . Утверждение теоремы можно стать неверным, если рассмотреть значение функции на интервале ( , ). Действительно, если рассмотреть функцию на (0, 2), то она непрерывна на этом интервале, но не достигает в нём ни наибольшего, ни наименьшего значений: она достигает этих значений на концах интервала, но концы не принадлежат нашей области.

Также теорема перестаёт быть верной для разрывных функций. Эта теорема допускает следующее обобщение. Таким образом, непрерывная функция, переходя от одного своего значения к другому, обязательно проходит через все промежуточные значения. Рассмотрим два значения аргумента: исходное 0 и новое . Типы неопределенностей. Функция не определена при x=0, так как числитель и знаменатель дроби обращаются в нуль. График функции изображен на рисунке. Однако, можно найти предел этой функции при х→0. Приведем доказательство записанной формулы. Рассмотрим окружность радиуса 1 и предположим, что угол α, выраженный в радианах, заключен в пределах 0 < α < π/2. Четная функция и ее значения не изменяются при изменении знака α, то достаточно рассмотреть случай, когда α > 0.) Предел. Непрерывность функции. В результате измерения физических величин (время, площадь, объем, масса, скорость и т.д.) определяются их числовые значения. Математика занимается величинами, отвлекаясь от их конкретного содержания.

В дальнейшем, говоря о величинах, мы будем иметь в виду их числовые значения. В различных явлениях некоторые величины изменяются, а другие сохраняют свое числовое значение. Например, при равномерном движении точки время и расстояние меняются, а скорость остается постоянной. Переменной величиной называется величина, которая принимает различные числовые значения. Заметим, что в математике постоянная величина часто рассматривается как частный случай переменной, у которой все числовые значения одинаковы.

Областью изменения переменной величины называется совокупность всех принимаемых ею числовых значений. . Например, числовую последовательность образуют следующие величины: , , , где а, d – постоянные числа. Начнем с понятия предела числовой последовательности.