Producto cruz. El producto cruz o producto vectorial de dos vectores es otro vector cuya dirección es perpendicular a los dos vectores y su sentido sería igual al avance de un sacacorchos al girar de u a v.
Su módulo es igual a: El producto cruz se puede expresar mediante un determinante: Ejemplos Calcular el producto cruz de los vectores = (1, 2, 3) y Dados los vectores y , hallar el producto cruz de dichos vectores. El producto vectorial de es ortogonal a los vectores Área del paralelogramo Geométricamente, el módulo del producto cruz de dos vectores coincide con el área del paralelogramo que tiene por lados a esos vectores. Ejemplo , hallar el área del paralelogramo que tiene por lados los vectores Área de un triángulo Determinar el área del triángulo cuyos vértices son los puntos A(1, 1, 3), B(2, −1, 5) y C(−3, 3, 1). Propiedades del producto cruz 1. X 2. Λ ( ) = (λ ) x x (λ 3. X ( 4. 5.
Es perpendicular a y a. Definición de vectores. Vectores unitarios y componentes de un vector Cualquier vector puede ser considerado como resultado de la suma de tres vectores, cada uno de ellos en la dirección de uno de los ejes coordenados. Si consideramos ahora sobre cada eje un vector, aplicado en el origen, cuyo sentido es positivo y cuyo módulo consideramos como unidad de longitudes, podemos sustituir cada uno de los sumandos de la expresión anterior por el producto de un escalar por el correspondiente vector unidad. De ese modo, Los escalares y se denominan componentes del vector y se representan por: Los vectores son los vectores unitarios y suelen representarse respectivamente por i, j, y k. También puede representarse de la siguiente forma: Suma y resta de vectores La suma de dos vectores libres es otro vector libre que se determina de la siguiente forma: P ara efectuar sumas o restas de tres o más vectores, el proceso es idéntico.
Al vector que se obtiene al sumar o restar varios vectores se le denomina resultante. Ejemplo : Además : Producto punto. El producto punto o producto escalar de dos vectores es un número real que resulta al multiplicar el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman.
Expresión analítica del producto punto Ejemplo Hallar el producto punto de dos vectores cuyas coordenadas en una base ortonormal son: (1, 1/2, 3) y (4, −4, 1). Expresión analítica del módulo de un vector Hallar el valor del módulo de un vector de coordenadas = (−3, 2, 5) en una base ortonormal. Expresión analítica del ángulo de dos vectores Determinar el ángulo que forman los vectores = (1, 2, −3) y Vectores ortogonales Dos vectores son ortogonales si su producto escalar es 0.
Calcular los valores x e y para que el vector (x, y, 1) sea ortogonal a los vectores (3, 2, 0) y (2, 1, −1). Propiedades del producto punto 1Conmutativa 2 Asociativa 3 Distributiva El producto escalar de un vector no nulo por sí mismo siempre es positivo. Interpretación geométrica del producto punto OA' es la proyección escalar de.