Graphisme

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Rapid Prototyping Models. Bathsheba Sculpture. Éponge de Menger. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Éponge de Menger

Pour les articles homonymes, voir Menger. Éponge de Menger après quatre itérations. Images des mathématiques. Un ballon de foot fractal. On a vu le Mandelbulb, le Mandelbox et voici maintenant une toute autre famille d’objets fractals. [1] Cette fois-ci, ce sont des polyèdres : les solides de Platon et des solides d’Archimède, mais aussi quelques formes plus exotiques.

Un ballon de foot fractal

On va les munir d’une structure fractale en utilisant un algorithme très simple. Un ballon de foot a un patron typique d’hexagones et de pentagones, qu’on obtient en tronquant un icosaèdre. Le voici sculpté en figures fractales. Il ne reste qu’à le gonfler : Comment peut-on dessiner et sculpter ces objets ? Associaèdre.

Il y a cinq ans le Centre International de Rencontres Mathématiques de Luminy a envoyé ses vœux avec la carte ci-dessous.

Associaèdre

L’illustration choisie par Robert Coquereaux, directeur du CIRM à cette époque là, était tout à fait adaptée pour l’an 5 du nouveau millénaire puisque ce polyèdre comporte plusieurs pentagones parmi ses faces. Mais intéressons-nous d’abord à des polygones et des polyèdres plus simples comme le triangle et le tétraèdre : Ils font partie d’une famille infinie de « polytopes » (les analogues des polygones et polyèdres en dimensions supérieures) appelés les simplexes standards. Le n-simplexe standard {\mathcal{T}}^{n} peut être décrit de la manière suivante. La structure de Weaire et Phelan. Lorsque les manchots empereurs, un œuf posé sur leurs pattes, bravent le froid en attendant que madame rapporte sa pêche, ils se serrent les uns contre les autres en un grand cercle mouvant ; ceux du bord s’insèrent pour se retrouver progressivement au centre, et ainsi de suite pour ne pas mourir de froid.

La structure de Weaire et Phelan

Cette position des manchots s’appelle la tortue. Sa forme circulaire est optimale, elle minimise la proportion de manchots sur le bord. Pour un nombre de manchots donné, le cercle minimise donc le nombre d’entre eux qui sont sur le pourtour de la zone occupée et ne peuvent se réchauffer au contact de leurs voisins. En termes mathématiques, si une courbe tracée dans le plan entoure une aire fixée A, son périmètre est toujours supérieur à celui d’un cercle entourant un disque de même aire A.