Le nombre i. Le nombre i, méconnu des collégiens et de la grande majorité des lycéens, occupe cependant une place de premier ordre dans l’univers des mathématiques.
On le rencontre pour la première fois dans le programme des classes scientifiques terminales au lycée. Sa construction, plutôt étonnante, ne demande pourtant pas de connaissances très étendues mais il faut être capable d’un fort degré d’abstraction. Pour comprendre comment le nombre i est défini, il faut remonter aux cours de 4ème. Là, la règle des signes nous dicte que le produit de deux nombres négatifs est positif. Par exemple (-3) x (-2) = 6. Ainsi, en déduit-on, que le carré de tout nombre est positif. Au collège, on définit de façon formelle les racines carrées. Alors n2 = x.
Est le nombre dont le carré est 9, c'est-à-dire 3. Est le nombre dont le carré est 5, mais là le résultat n’est pas un nombre entier, ni même décimal ou rationnel. Nombres Imaginaires, introduction. Un imaginaire bien utile La lettre "i "est l’initiale du mot imaginaire.
Elle est utilisée pour caractériser un nombre singulier, bien utile, mais sans existence réelle. Par définition: ou autrement dit i est (symboliquement) la racine carrée de –1: Avec ce simple nouveau nombre, il s’agit là, bel et bien, de la construction d’un nouveau monde de nombres aux vertus extraordinaires: Le monde des nombres imaginaires (purs) lorsqu'ils sont seuls (5i) Le monde des nombres complexes, lorsqu'ils sont deux (4 + 5i). Note: pour ne pas confondre i intensité et i la racine de – 1, les électroniciens utilisent j pour symbole de racine de – 1. Voir Notations De fçon imgée Les nombres classique (1,2, 3, …5, 666… Pi …) se visualisent facilement en ligne, en les reportant sur une règle graduée. Nombres imaginaires, les complexes.
Définition Nombres complexes: expression de la forme z = a + ib où a et b sont des nombres réels, et i un "nombre imaginaire" tel que: i² = – 1 soit: i = a est la partie réelle du nombre complexe; b est la partie imaginaire du nombre complexe.
Intérêt Les équations du deuxième degré ax² + bx + c = 0 ont toujours deux racines qui, si elles ne sont pas réelles, sont imaginaires. Historiquement, les nombres complexes furent imaginés pour résoudre les équations du troisième degré, en toute généralité. Applications Les nombres complexes créent un pont avec la géométrie, notamment dans le domaine des rotations et similitudes. En mathématiques pure, le passage au monde des complexes permet la résolution de problèmes pratiquement insoluble sinon.
D'une manière générale, les complexes font partie de la boîte à outils des ingénieurs. Les électroniciens font grand usage des nombres complexes pour décrire le comportement des circuits électroniques en régime permanent comme en régime transitoire. Jean Mawhin : Surprises et beautés en passant du réel au complexe. Les nombres complexes (partie 1) Origine du nombre imaginaire "i" Un mathématicien italien du XVIe siècle appelé Jérome Cardan a formulé une formule pouvant résoudre les équations du type : Ici, x, p et q sont chacun des nombres réels, on dit qu’ils appartiennent à l’ensemble des réels et on le note ainsi : Cependant ce type d’équation n’était résolvable en cette époque qu’à certaines conditions; il faut en effet que : Lorsque la condition précédente est respectée, alors les solutions sont : On peut également écrire de cette manière (c’est équivalent) : En 1572, le mathématicien italien Bombelli décide d’utiliser la formule de Cardan en s’autorisant à utiliser des nombres considérés comme impossible comme sqrt(-121), sans essayer à en comprendre se sens.
PS : sqrt = « square root » en anglais, qui se traduit par « racine carrée » en français. Nous allons maintenant vérifier que sqrt(-121) est bien solution de l’équation : A l’aide de la formule de Cardan, on obtient : Par la suite, on admettra que : Nombre imaginaire pur. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Un nombre imaginaire pur est un nombre complexe qui s'écrit sous la forme ia avec a réel, i étant l'unité imaginaire. Par exemple, i et −3i sont des imaginaires purs. Ce sont les nombres complexes dont la partie réelle est nulle. L'ensemble des imaginaires purs est donc égal à iℝ (aussi noté iR). Définition[modifier | modifier le code] Dans le corps des nombres complexes, on choisit un élément dont le carré vaut −1, que l'on note i.
Nombre complexe. Pour les articles homonymes, voir complexe. Représentation graphique du complexe x + i y = r eiφ à l'aide d'un vecteur. Mise en évidence de l'interprétation graphique de son moduler et d'un de ses argumentsφ. Calcul avec les nombres complexes/Introduction de i. Une page de Wikiversité.
Début de la boite de navigation du chapitre fin de la boite de navigation du chapitre En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Calcul avec les nombres complexes : Introduction de i Calcul avec les nombres complexes/Introduction de i », n'a pu être restituée correctement ci-dessus. La plus belle formule des mathématiques (Benoît Rittaud) Imaginary Numbers Are Real [Part 1: Introduction] The Useless Number - Numberphile. E to the pi i for dummies. The PROOF: e and pi are transcendental. All possible pythagorean triples, visualized. Pi hiding in prime regularities. Imaginary Numbers Are Real [Part 2: A Little History] Imaginary Numbers Are Real [Part 3: Cardan's Problem]
Imaginary Numbers Are Real [Part 4: Bombelli's Solution] Imaginary Numbers Are Real [Part 5: Numbers are Two Dimensional] Imaginary Numbers Are Real [Part 6: The Complex Plane] Imaginary Numbers Are Real [Part 7: Complex Multiplication] Imaginary Numbers Are Real [Part 8: Math Wizardry] Imaginary Numbers Are Real [Part 9: Closure] Fantastic Quaternions - Numberphile.