Loi de probabilité Entropie Familles de lois. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. En théorie des probabilités et en statistique, une loi de probabilité décrit le comportement aléatoire d'un phénomène dépendant du hasard. L'étude des phénomènes aléatoires a commencé avec l'étude des jeux de hasard. Jeux de dés, tirage de boules dans des urnes et jeu de pile ou face ont été des motivations pour comprendre et prévoir les expériences aléatoires. Ces premières approches sont des phénomènes discrets, c'est-à-dire dont le nombre de résultats possibles est fini ou au plus dénombrable. Certaines questions ont cependant fait apparaître des lois à support infini non dénombrable ; par exemple, lorsque le nombre de tirages de pile ou face effectués tend vers l'infini, la répartition du nombre de piles obtenus s'approche d'une loi normale. Il existe beaucoup de lois de probabilités différentes. Définition informelle[modifier | modifier le code] Historique[modifier | modifier le code] — Essay, de Montmort, 1713[7] Le triplet sur ) et de loi.
Fonction de répartition. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. Fonctions de répartition d'une variable discrète, d'une variable diffuse et d'une variable avec atome, mais non discrète. En théorie des probabilités ou en statistiques, la fonction de répartition d'une variable aléatoire réelle caractérise la loi de probabilité de cette variable aléatoire réelle. La fonction de répartition de la variable aléatoire réelle est la fonction qui à tout réel associe où le membre de droite représente la probabilité que la variable aléatoire réelle prenne une valeur inférieure ou égale à La probabilité que se trouve dans l'intervalle est donc, si La fonction de répartition d'une mesure de probabilité définie sur la tribu borélienne Exemples de calculs de la fonction de répartition[modifier | modifier le code] Variables à densité[modifier | modifier le code] Fonction de répartition de la loi normale centrée réduite La fonction de répartition d'une variable aléatoire de densité de probabilité .
La loi de ou de , où Si, par exemple, où . Fonction caractéristique (probabilités) Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. La fonction caractéristique d'une variable aléatoire réelle X est la fonction à valeurs complexes définie sur par Si cette variable aléatoire possède une densité, disons fX, alors Ainsi, dans le cas d'une variable aléatoire à densité, la fonction caractéristique est la transformée de Fourier (à un facteur 2π près suivant la convention) de la densité. Probablement pour cette raison, il arrive que l'on choisisse une convention différente, à savoir Plus généralement, la fonction caractéristique d'une variable aléatoire X à valeurs dans est la fonction à valeurs complexes définie sur où est le produit scalaire de u avec X.
Lorsque la variable aléatoire X est discrète, on définit sa fonction génératrice par avec z complexe (quand cela a un sens). Cette fonction G est donc en fait un prolongement de φX. En appliquant alors la transformée de Fourier à φX+Y cela permet de retrouver la loi de X+Y. est le moment d'ordre k de X. donc : Cumulant (statistiques) Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. Les cumulants κn sont définis par la fonction génératrice des cumulants qui est g(t) : Elle est donc intimement liée à la fonction génératrice des moments et à la fonction caractéristique de la variable X.
Les cumulants sont donnés par les dérivées en 0 de g(t) : κ1 = μ = g' (0), κ2 = σ2 = g' '(0), κn = g(n) (0). Une distribution avec des cumulants κn donnés peut être approchée par un développement d'Edgeworth. tandis qu'avec la fonction génératrice des moments , on obtient Il faut enfin remarquer que : Certains auteurs[1],[2] préfèrent définir la fonction génératrice des cumulants directement à partir de la fonction caractéristique d'une variable aléatoire comme le logarithme népérien de cette fonction caractéristique.
La caractérisation des cumulants est valide même pour les distributions dont les plus hauts moments n'existent pas. La variable aléatoire constante X = 1. En introduisant La dérivée seconde est La fonction génératrice des moments est : Power law. An example power-law graph, being used to demonstrate ranking of popularity. To the right is the long tail, and to the left are the few that dominate (also known as the 80–20 rule). In statistics, a power law is a functional relationship between two quantities, where a relative change in one quantity results in a proportional relative change in the other quantity, independent of the initial size of those quantities: one quantity varies as a power of another. For instance, considering the area of a square in terms of the length of its side, if the length is doubled, the area is multiplied by a factor of four.[1] Empirical examples of power laws[edit] Properties of power laws[edit] Scale invariance[edit] One attribute of power laws is their scale invariance.
. , scaling the argument by a constant factor causes only a proportionate scaling of the function itself. That is, scaling by a constant simply multiplies the original power-law relation by the constant . And A power-law only if Universality[edit] Loi de Zipf. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. Pour les articles homonymes, voir Zipf. La loi de Zipf est une observation empirique concernant la fréquence des mots dans un texte.
Elle a pris le nom de son auteur, George Kingsley Zipf (1902-1950). Cette loi a d'abord été formulée par Jean-Baptiste Estoup[1] et a été par la suite démontrée à partir de formules de Shannon par Benoît Mandelbrot. Elle est parfois utilisée en dehors de ce contexte, par exemple, la taille et le nombre des villes dans chaque pays, lorsque cette loi semble mieux répondre aux chiffres que la distribution de Pareto[2]. Genèse[modifier | modifier le code] le mot le plus courant revenait 8 000 fois ;le dixième mot 800 fois ;le centième, 80 fois ;et le millième, 8 fois. où K est une constante. Point de vue théorique[modifier | modifier le code] avec s juste légèrement plus grand que 1. Définition mathématique[modifier | modifier le code] Notons les paramètres de la loi de Zipf par pour le nombre d'éléments (de mots), .
Où . Longue traîne. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. La longue traîne, représentée en jaune Pour un vocabulaire plus probabiliste, une distribution à longue traîne est également appelée une loi de probabilité à longue queue. La longue traîne dans la théorie des statistiques[modifier | modifier le code] La traîne devient plus large et plus longue dans les nouveaux marchés (représentés en rouge).
Là où les distributeurs traditionnels se focalisaient sur la partie gauche du graphique, les librairies en ligne font plus de ventes sur la partie droite. La longue traîne est une expression courante pour désigner un phénomène connu depuis longtemps des statisticiens (loi de Zipf, distribution de Pareto, distribution de Lévy). Dans ces distributions, une population à grande fréquence ou grande amplitude est suivie par une population à fréquence faible ou de faible amplitude, qui diminue graduellement en une « queue ». La longue traîne de Chris Anderson[modifier | modifier le code]
Nicole El Karoui Cours du master finance. Analyse quantitative (économie) Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. En finance, l'analyse quantitative est l'utilisation de mathématiques financières, souvent dérivées des probabilités, pour mettre au point et utiliser des modèles permettant aux gestionnaires de fonds et autres spécialistes financiers de s'attaquer à deux problèmes : mieux évaluer la valeur des actifs financiers, et surtout leurs dérivés. Ces dérivés peuvent être des produits comme les warrants, les certificats ou tout autre type de dérivé ou d'option (contrats Futures sur matières premières, indices, etc.).gérer plus scientifiquement leurs opérations en ajustant en permanence leurs portefeuilles dans une optique d'équilibre entre le risque et la rentabilité attendue.
Les analystes cherchent à réduire les risques pris par les institutions financières dans leurs opérations de trading pour un niveau de rendement égal. Les analystes quantitatifs, surnommés « quants », ont une formation à la fois mathématique et financière. Master : Probabilités et Finance (thématique) Cas Argument de l’Apocalypse & Répression des Fraudes. La soif s’en va en buvant. Le permis aussi ! Avant d’écouter les arguments des fins limiers de la Répressions des Fraudes et d’attaquer cette célèbre et difficile énigme, traitons d’abord des exemples simples. Imaginons Vincent arrêté par la police qui le suspecte d’avoir pris un petit verre de trop. Il est impossible de dire quelle est la probabilité qu’il soit positif à un test d’alcoolémie.
Mais voici que Sandrine m’informe que notre ami Vincent a bu plus que de raison au mariage d’un ami : apéro, vin, champagne et digestif. On lit « Probabilité que A soit vrai sachant E ». Les biscuits d’Alice et de Béatrice Le « sachant E » (|E) peut aller jusqu’à contredire les premières observations. Alice pour son quatre-heures, dispose d’une boîte de dix biscuits : neuf au chocolat et un aux dattes. L’une d’entre elles donne un biscuit à Marguerite. Et bien sûr : Maintenant, Marguerite choisit un biscuit au hasard.
Quel que soit le résultat, on aura : Thomas Bayes (1702-1761) De façon similaire : Cas Elections ATTAC Synthèse rapports d’experts. Elections ATTAC : synthèse des rapports d'experts. Cette mission m’a été confiée fin juin, à la demande du CA, transmise par Jacques Weber et confirmée par notre président Jacques Nikonoff. Son objectif, tel que je l’ai interprété, n’était pas d’alimenter une controverse, mais de contribuer à la dépasser. Un débat impliquant des experts, membres d’Attac, se développait, en effet, au sein du mouvement, concernant le sujet très grave d’éventuelles « anomalies » constatées à l’occasion des élections au CA... dont dépendait l’élection de l’exécutif. Des renversements de tendance surprenants, survenus lors des dépouillements des 14 et 15 juin, paraissaient assez importants pour remettre en cause le résultat final du scrutin.
Le choix conjoint, par les parties opposées d’un groupe d’experts dont chacun reconnaissait la compétence et la neutralité avait donc pour objet de solliciter l’opinion motivée de personnes non impliquées dans le débat. I- Brève introduction à l’usage des « nuls ». Images des mathématiques - Coïncidences. Deux exemples Quelqu’un annonce froidement à son assistance qu’il tient pour certain que deux d’entre eux sont nés le même jour, ou que leurs parents se sont mariés le même jour etc. Cela n’a rien d’extraordinaire : la probabilité pour que ce soit vrai dépend du nombre de personnes, mais à partir de 23, elle est déjà de 50% et si on s’adresse à 50 personnes, il n’y a plus que 3% de chances de se tromper !
Dans le même ordre d’idées, un médium annonce pour les trois années à venir 169 dates pour lesquelles il y aura des séismes de magnitude supérieure à 6,5. On constate après coup que, sur les 196 séismes qui se sont effectivement produits, 33 avaient été prédits par le médium. Explications Même si les événements décrits sont rares quand on les envisage individuellement ou, pour mieux dire, si ce sont des éventualités isolées, il en va différemment si on répète l’expérience ou si on leur donne plusieurs fois l’occasion de se réaliser. Quelques conséquences - Les tests ADN Triangle de Pascal. Définition Méthode des moindres carrés - Encyclopédie scientifique en ligne. Illustration de la méthode des moindres carrés. Les données suivent la courbe figurée en pointillés et sont affectées par un bruit gaussien centré, de variance 1.
Elles sont représentées graphiquement sous la forme de points de mesures, munis de barres d'erreur, représentant, par convention, écart-type autour (Autour est le nom que la nomenclature aviaire en langue française (mise à jour) donne...) du point (Graphie) de mesure. Le meilleur ajustement déterminé par la méthode des moindres carrés (La méthode des moindres carrés, indépendamment élaborée par Legendre en...) est représenté en rouge (La couleur rouge répond à différentes définitions, selon le système chromatique dont on fait...).
Il s'agit de la fonction qui minimise la somme quadratique des écarts (appelés résidus) entre les données (Dans les technologies de l'information (TI), une donnée est une description élémentaire, souvent...) et le modèle. Ce modèle peut prendre diverses formes. Histoire Formalisme Deux exemples simples. Algorithme Métropolis - Cours Lebeau. Matrice aléatoire. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. Face à la complexité croissante des spectres nucléaires observés expérimentalement dans les années 1950, Wigner a suggéré de remplacer l'opérateur hamiltonien du noyau par une matrice aléatoire. Cette hypothèse féconde a conduit au développement rapide d'un nouveau champ de recherche très actif en physique théorique, qui s'est propagé à la théorie des nombres en mathématiques, avec notamment une connexion intéressante avec la fonction zêta de Riemann.
En plus de ces exemples on compte parmi les applications de la théorie des matrices aléatoires les systèmes intégrables, le chaos quantique, la gravité quantique en deux dimensions et plus via la théorie des cordes, la QCD sur réseau, les théories de jauge supersymétriques. Quelques ensembles de matrices aléatoires[modifier | modifier le code] Ensembles gaussiens[modifier | modifier le code] Ce sont les ensembles introduits par Wigner pour la théorie des spectres nucléaires. . Où les. Archive-1 Théorie des spectres | Techniques de l'ingénieur. Théorie des spectres atomiques - Introduction | Techniques de l'ingénieur. Nota : Ce texte est la refonte de l’article précédemment rédigé par Paul BOUSQUET Après avoir passé en revue les différents processus d’interaction du rayonnement avec la matière, nous examinerons successivement les spectres optiques et les spectres X, en commençant par le spectre le plus simple, celui de l’atome d’hydrogène.
Nous verrons que les premiers sont à l’origine d’une connaissance extrêmement précise des configurations électroniques externes des atomes, configurations qui sont d’ailleurs très variées et qui conditionnent les propriétés chimiques des éléments ; c’est dire l’importance du rôle joué par la spectroscopie atomique. Les spectres de rayons X, pour leur part, traduisent les configurations électroniques internes des atomes ; nous verrons, entre autres résultats, que leur forme caractéristique est la preuve directe de la disposition de ces électrons en couches successives.
L’étude des spectres moléculaires fait l’objet de l’article P 2 656. Category:Measure theory. Paradoxe Bertrand Calcul Probabilités Géométriques (Maths & Informatique) Probabilités - Paradoxe de Bertrand. Ce problème, qui s'inscrit dans le cadre des calculs de probabilités géométriques, fut exhibé par le mathématicien français Joseph Bertrand en 1899. Il peut comporter quatre réponses justes selon la compréhension des mots « hasard » et « choix ».
Qui était Bertrand ? Rappelons tout d'abord brièvement qui fut ce mathématicien. Né en 1822, Joseph-Louis-François Bertrand fut reçu premier à l'École Polytechnique à l'âge de 17 ans. Il fut ingénieur des Mines, enseigna au lycée Saint-Louis, puis au Collège de France. Admis à l'Académie des Sciences en 1856, il succéda à Sturm. Nous lui devons la célèbre série de Bertrand de terme général qui est convergente si l'une des conditions nécessaires et suffisantes suivantes est réalisée : α > 1 ;α = 1 et β > 1. Il émit aussi le postulat de Bertrand en 1845 : Pour tout entier n supérieur à 2, il existe au moins un nombre premier compris entre n et 2n. Cette conjecture fut prouvée par Tchebychev – ou Chebyshev, en translittération anglaise – en 1854. Paradoxe de Condorcet - Dés de Condorcet (vus par Tokieda) Incertaines probabilités (2) Problèmes inverses en finance et calibration de modèle.
Problème de Monty Hall. Travaux Stanislav Smirnov (Images des mathématiques) Welcome to Rama CONT's website. "Rama CONT: Research interests" LPMA - Supports de cours. Www.proba.jussieu.fr/users/lma/M.html. Réflexions sur les sondages - Riandey.