Nombres premiers et progressions arithmétiques. Ces problèmes ne font appel qu’à l’addition et la multiplication mais des méthodes évoluées ont été utilisées pour les résoudre. Nous allons voir quelques résultats spectaculaires liant nombres premiers et progressions arithmétiques. Les nombres premiers Un nombre premier est un entier naturel admettant exactement deux diviseurs distincts, et lui-même. On a l’habitude de noter le -ième nombre premier. Ainsi, La première question sur les nombres premiers fut de savoir si cette suite s’arrête ou continue à l’infini, autrement dit, de savoir s’il existe une infinité de tels nombres.
On pourrait être tenté de trouver une formule qui donne le prochain nombre premier connaissant les précédents. Preuve : Posons , le produit de tous les entiers plus petits que . Progressions arithmétiques À l’opposé de la suite des nombres premiers, les progressions arithmétiques ont un comportement qui n’a rien d’erratique et qui, bien au contraire, est très ordonné. Quelle est la densité des nombres premiers ? Pascal's triangle. Rows zero to five of Pascal's triangle In mathematics, Pascal's triangle is a triangular array of the binomial coefficients. In much of the Western world it is named after French mathematician Blaise Pascal, although other mathematicians studied it centuries before him in India,[1] Iran, China, Germany, and Italy.[2] The rows of Pascal's triangle (sequence A007318 in OEIS) are conventionally enumerated starting with row n = 0 at the top (the 0th row). The entries in each row are numbered from the left beginning with k = 0 and are usually staggered relative to the numbers in the adjacent rows.
Appears in the nth row and kth column of Pascal's triangle. (the entry in the zeroth row and zeroth column). This construction is related to the binomial coefficients by Pascal's rule, which says that if then for any non-negative integer n and any integer k between 0 and n.[3] Pascal's triangle has higher dimensional generalizations. Each number in the triangle is the sum of the two directly above it. Quelques propriétés des carrés parfaits. Arithmétique ! Algèbre ! Géométrie ! Trinité grandiose ! Triangle lumineux ! Nous allons faire connaissance dans cet article avec une catégorie particulière de nombres entiers : les carrés parfaits. Carrés parfaits Un nombre entier N est dit carré s’il est possible de disposer N objets de manière à former exactement un carré, comme dans la figure suivante : Les premiers entiers carrés sont donc 1, 4, 9, 16...
Voici une première propriété des carrés parfaits, a priori surprenante : il est possible de calculer la suite de ces nombres en ne faisant que des additions. Pour passer du premier carré au deuxième, on rajoute 3 objets. Les nombres du bas s’obtiennent en calculant les différences successives des nombres du haut. Calcul algébrique des différences Il s’agit de calculer la différence entre deux nombres carrés consécutifs. Le n-ième nombre carré est donc la somme des n premiers nombres impairs. N^2 = 1 + 3 + 5 + \cdots + (2n-1). Triplets pythagoriciens Nombres premiers et sommes de carrés.
Calendriers et fractions continues. Ce texte a été écrit à la suite d’une conférence que je fais régulièrement à des classes de collégiens ou lycéens dans le cadre de la fête de la science à Orsay. Au départ, c’était en 1998 ou 1999, à la radio, des journalistes relataient une grave interrogation des fabricants de calendriers : Y aurait-il un 29 février en l’an 2000 ? Certains soutenaient que comme en 1900 ou 1800, cette année ne serait pas bissextile ; d’autres au contraire, affirmaient que 2000 était une année à part... Mais au fait, pourquoi dit-on année « bissextile » ? Toutes ces questions étaient un très bon prétexte pour se pencher sur l’histoire de notre calendrier et donc, pour la mathématicienne que je suis, d’introduire les fractions continues.
Tous les jeunes qui sont venus au département de mathématique ou que je suis allée voir dans leur établissement sont arrivés avec une calculette et un crayon et ont fait les calculs que l’on fera plus loin jusqu’au bout. I - Les différents types de calendriers On a : et Alors. Nombre irrationnel. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. , où a et b sont deux entiers relatifs (avec b non nul). Les premiers nombres irrationnels découverts sont les racines carrées des entiers qui ne sont pas des carrés parfaits, entre autres √2 (voir des démonstrations de son irrationalité).
Plus généralement, on appelle nombres algébriques les nombres qui sont racine d'un polynôme à coefficients rationnels ; cette catégorie facile à construire permet d'exhiber de nombreux nombres irrationnels. Les nombres qui ne sont pas algébriques (c'est-à-dire qui ne sont racine d'aucun polynôme à coefficients rationnels) sont appelés nombres transcendants ; ils sont tous irrationnels. Les nombres π et e font partie de cette seconde catégorie de nombres irrationnels.
Histoire[modifier | modifier le code] Comme le rapportent les Sulba Sutras (en), l'utilisation la plus ancienne des nombres irrationnels fut faite par les indiens entre 800 et 500 avant J. où les coefficients sont entiers. tel que (par exemple si et. Nombre algébrique. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. Un nombre algébrique, en mathématiques, est tout nombre qui est solution d'une équation algébrique (autrement dit racine d'un polynôme non nul) à coefficients rationnels.
Sans plus de précision, on suppose qu'un nombre algébrique est un nombre complexe, mais on peut aussi considérer les nombres algébriques dans d'autres corps commutatifs, tel que le corps des nombres p-adiques. Le concept de nombre algébrique peut être généralisé à des extensions de corps arbitraires ; les éléments dans de telles extensions qui satisfont aux équations polynomiales sont appelés des éléments algébriques. Le polynôme irréductible unitaire ayant un tel nombre pour racine est appelé polynôme minimal de ce nombre.
L'étude de ces nombres, de leurs polynômes minimaux et des corps qui les contiennent fait partie de la théorie de Galois. Exemples[modifier | modifier le code] Propriétés[modifier | modifier le code] Les nombres non algébriques sont dits transcendants. Nombre univers. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. Un nombre univers est une version plus faible du concept de nombre normal : tout nombre normal est aussi un nombre univers, mais la réciproque est fausse : dans un nombre normal, chaque séquence apparaît une infinité de fois et selon une statistique équirépartie ; dans un nombre univers, on ne garantit que l'existence d'au moins une occurrence de chaque séquence, et aucune propriété statistique sur leurs fréquences relatives. La constante de Champernowne (0,123456789101112…) est un exemple de nombre univers en base 10.
À l'heure actuelle, on ne sait pas si Pi possède cette propriété. La suite définie par n fois le zéro entre les nombres successifs (0,10200300000040000000000005…) est un exemple de nombre univers non normal. Articles liés[modifier | modifier le code] Bibliographie[modifier | modifier le code]