Géométrie algébrique. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. La géométrie algébrique est un domaine des mathématiques qui, historiquement, s'est d'abord intéressé à des objets géométriques (courbes, surfaces...) dont les coordonnées vérifiaient des équations ne faisant intervenir que des sommes et des produits (par exemple le cercle unité dans le plan rapporté à un repère orthonormé admet pour équation ). La simplicité de cette définition fait qu'elle embrasse un grand nombre d'objets et qu'elle permet de développer une théorie riche. Les besoins théoriques ont contraint les mathématiciens à introduire des objets plus généraux dont l'étude a eu des applications bien au-delà de la simple géométrie algébrique ; en théorie des nombres par exemple, cela a conduit à une preuve du grand théorème de Fermat.
Cette branche des mathématiques n'a désormais plus grand-chose à voir avec la géométrie analytique dont elle est en partie issue. Histoire[modifier | modifier le code] . S'annule donc sur l'axe . Où . . . ). Ensemble algébrique. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. En géométrie algébrique, un ensemble algébrique est l'ensemble des solutions d'un système d'équations polynomiales à plusieurs variables.
Ce sont les points d'une variété algébrique affine ou projective. Ils servent de support intuitif à la géométrie algébrique. Ensembles algébriques affines[modifier | modifier le code] Dans cette section désignera un corps algébriquement clos (par exemple ℂ), un entier supérieur ou égal à un. Sur , c’est-à-dire l'ensemble (dépourvu de structure algébrique). Définition. Une partie de l'anneau des polynômes , on appelle ensemble algébrique associé à S et on note le sous-ensemble de suivant : c’est-à-dire le lieu d'annulation commun à tous les éléments de Exemples : Dans le plan affine , le lieu d'annulation d'un polynôme à deux variables non nul est un ensemble algébrique affine appelé courbe plane et le degré du polynôme est appelé degré de la courbe. Remarques Si est l'idéal de engendré par S, alors .
Propriétés: , où. Variété algébrique affine. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. En géométrie algébrique , une est un modèle local pour les variétés algébriques , c'est-à-dire que celles-ci sont obtenues par recollement de variétés affines. Grossièrement, une variété affine est un ensemble algébrique affine avec une structure algébrique supplémentaire qui est la donnée de l'anneau des fonctions régulières sur chaque partie ouverte de . Points de vue analytique et algébrique [ modifier ] Le point de vue le plus simple pour décrire une variété algébrique affine est l'ensemble des solutions d'un système d'équations polynomiales à coefficients dans un corps commutatif .
Autrement dit une variété affine est une partie de n dont les points annulent des polynômes 1 , ..., r de [X 1 , ..., n ]. La géométrie algébrique offre une vision purement algébrique de ce concept de variété affine, par l'équivalence suivante : Le point de vue de gauche est dit et celui de droite . Explication de la correspondance ≡ [ modifier ] est . , où . Variété algébrique. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. Pour les articles homonymes, voir variété. Il y a deux points de vue (essentiellement équivalents) sur les variétés algébriques : elles peuvent être définies comme des schémas de type fini sur un corps (langage de Grothendieck), ou bien comme la restriction d'un tel schéma au sous-ensemble des points fermés.
On utilise ici le deuxième point de vue, plus classique. Définition[modifier | modifier le code] Une variété algébrique est, grossièrement, une réunion finie de variétés affines. L'espace topologique sous-jacent d'une variété algébrique est localement des ensembles algébriques affines lorsque le corps de base est algébriquement clos.
Variétés algébriques[modifier | modifier le code] On fixe un corps k. En k-algèbres est constitué d'un espace topologique et d'un faisceau de k-algèbres sur tel que les germes aux points de sont des anneaux locaux. Une variété algébrique sur k est un espace localement annelé (c'est-à-dire que l'espace sans Si . Dans k. Soit. Schéma (géométrie algébrique) Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. Pour les articles homonymes, voir Schéma. En géométrie algébrique, un schéma est un espace localement annelé localement isomorphe à un schéma affine. Le faisceau est appelé le faisceau structural. Un schéma affine est le spectre d'un anneau commutatif, muni de son faisceau structural.
Un schéma est avant tout un objet géométrique. Telle qu'elle a été inventée, cette notion généralise la notion de variété algébrique. En théorie des nombres, pour étudier les propriétés arithmétiques d'une variété algébrique V sur , il est utile de connaître son comportement "modulo p" pour tout nombre premier p. . La notion de schéma est due à Alexandre Grothendieck, qui l'a inventée dans le but de démontrer les conjectures de Weil (qui sont maintenant un théorème, démontré par Pierre Deligne) vers l'année 1958. Si est un schéma, un sous-schéma ouvert de est un ouvert de muni du faisceau . Est toujours muni de cette structure de sous-schéma ouvert. Un schéma affine . Dans.