Liste de fractales par dimension de Hausdorff. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. Cet article est une liste de fractales, ordonnées par dimension de Hausdorff croissante. En mathématiques, une fractale est un ensemble dont la dimension de Hausdorff (notée δ) est strictement supérieure à la dimension topologique[1]. Fractales déterministes[modifier | modifier le code] δ < 1[modifier | modifier le code] 1 ≤ δ < 2[modifier | modifier le code] δ = 2[modifier | modifier le code] 2 < δ < 3[modifier | modifier le code] δ = 3[modifier | modifier le code] Fractales aléatoires et naturelles[modifier | modifier le code] Notes et références[modifier | modifier le code] Voir aussi[modifier | modifier le code] Bibliographie[modifier | modifier le code] Kenneth Falconer, Fractal Geometry, John Wiley & Son Ltd (mars 1990), (ISBN 0471922870)Benoît Mandelbrot, The Fractal Geometry of Nature, W. Articles connexes[modifier | modifier le code] Sur les autres projets Wikimedia : les fractales, sur Wikimedia Commons Portail de la géométrie.
Dimension de Hausdorff. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. En mathématiques, et plus précisément en topologie, la dimension de Hausdorff d'un espace métrique (X,d) est un nombre réel positif ou nul, éventuellement l'infini. Introduite en 1918 par le mathématicien Felix Hausdorff, elle a été développée par Abram Samoilovitch Besicovitch. Elle est parfois appelée dimension de Hausdorff-Besicovitch. Introduction informelle[modifier | modifier le code] . Croît comme , l'espace X est dit de dimension d. Tend vers 0 si s > d, et tend vers l'infini si s < d. Définition[modifier | modifier le code] Malheureusement, les limites des quantités N(r)rs introduites dans le paragraphe précédent n'existent pas toujours. On {*style:<a href=' l'espace X au moyen d'une réunion dénombrable de parties notées Ai, chacune étant de diamètre inférieur à r.
Propriétés[modifier | modifier le code] Si « Il existe de rapports telles que On a alors la relation : où. Mesure (mathématiques) Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. Pour les articles homonymes, voir Mesure. De façon informelle, une mesure a la propriété d'être monotone : si l'ensemble E est un sous-ensemble de F, la mesure de E est inférieure ou égale à celle de F. De plus, on impose à la mesure de l'ensemble vide la valeur 0. L'étude des espaces munis de mesures est l'objet de la théorie de la mesure. de parties de X une valeur μ(S), qui est un réel positif ou l'infini. Définition — Soit un espace mesurable (i.e. un couple où est un ensemble et Une application μ définie sur à valeurs dans est appelée mesure lorsque les deux propriétés suivantes sont satisfaites : on parle de mesure -finie[4]. Par on peut supposer que la suite de sous-ensembles figurant dans la définition est croissante pour l'inclusion[5].
Un sous-ensemble S de X est dit négligeable lorsqu'il est inclus dans un T appartenant à la tribu et de mesure nulle[6].La mesure μ est dite complète lorsque tout ensemble négligeable appartient à la tribu [7]. Tribu (mathématiques) Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. Progressivement formalisées pendant le premier tiers du XXe siècle, les tribus constituent le cadre dans lequel s'est développée la théorie de la mesure. Les exemples les plus fameux en sont les tribus boréliennes, du nom d'Émile Borel, qui construisit la tribu borélienne de la droite réelle en 1898, et la tribu de Lebesgue, formée des ensembles mesurables définis par Henri Lebesgue en 1901.
En conséquence, les tribus sont aussi fondamentales en théorie des probabilités, dont l'axiomatisation moderne s'appuie sur la théorie de la mesure. Dans ce domaine, les tribus ne sont pas seulement le support du formalisme, mais aussi un outil puissant, qui est à la base de la définition de concepts parmi les plus importants : espérance conditionnelle, martingales, etc. Une minorité de sources exigent également que ne soit pas vide[3] ; cette hypothèse supplémentaire n'est utilisée à aucun endroit de cet article. Formellement : Le couple Les parties de Si . Sigma-anneau. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. Un σ-anneau (lire sigma-anneau) est un système d'ensembles dont la définition est un peu plus générale que celle des σ-algèbres (ou « tribus »).
Il est possible de présenter dans ce formalisme alternatif la théorie de la mesure, aujourd'hui plus souvent exposée dans le cadre des tribus. Définition, exemples, propriétés[modifier | modifier le code] Toute σ-algèbre (on dit aussi « tribu ») est un σ-anneau. De même que les algèbres d'ensembles sont les anneaux d'ensembles contenant , les σ-algèbres sont les σ-anneaux contenant .Un anneau d'ensembles sur un ensemble fini est aussi un σ-anneau. Un anneau sur un ensemble fini qui n'est pas une algèbre d'ensembles fournit donc un exemple de σ-anneau qui n'est pas une σ-algèbre : c'est ainsi le cas de sur un ensemble à deux éléments .Sur tout ensemble , le système de parties fini ou dénombrable est un σ-anneau.
Ou Lorsque Les σ-anneaux sur ayant une unité sont en fait les σ-algèbres sur à la tribu et. Catégorie:Théorie de la mesure. Espace à base dénombrable. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. Propriétés[modifier | modifier le code] Notes et références[modifier | modifier le code] ↑ Voir Lemme de Lindelöf.↑ a, b et c Un tel espace est (par définition) séparé.↑ L'espace des fonctions croissantes de [0, 1] dans [0, 1], muni de la topologie de la convergence simple : (en) Lech Drewnowski, « Continuity of monotone functions with values in Banach lattices », dans K.
D. Article connexe[modifier | modifier le code] Fonctions cardinales d'un espace topologique Portail des mathématiques. Mesure de Haar. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. En mathématiques, une mesure de Haar sur un groupe localement compact est une mesure de Borel quasi-régulière non nulle invariante par translation à gauche.
Autrement dit, pour toute partie borélienne B de G, et pour tout g dans G, on a : L'existence d'une mesure de Haar où est un nombre complexe. Exemples[modifier | modifier le code] Sur un espace euclidien, la mesure de Lebesgue est l'unique mesure invariante par les isométries et valant 1 sur tout cube engendré par les vecteurs d'une base orthonormée. Groupe de Lie[modifier | modifier le code] Sur toute variété différentielle orientée M de dimension n, une n-forme différentielle définit une mesure sur M. Définit par translation à gauche un champ de base invariant à gauche sur G. Définit une unique n-forme différentielle invariante par translation à gauche : la mesure borélienne correspondante est une mesure de Haar sur G.
Groupe compact[modifier | modifier le code] Comme le groupe G est compact, Dualité de Pontryagin. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. En mathématiques, notamment en analyse harmonique et dans la théorie des groupes topologiques, la dualité de Pontryagin explique les principales propriétés de la transformée de Fourier. Elle place dans un cadre plus général certaines observations à propos de fonctions définies sur ou sur un groupe abélien fini : Les fonctions périodiques à valeurs complexes suffisamment régulières ont une série de Fourier et on peut les déduire de cette série;Les fonctions à valeurs complexes suffisamment régulières ont une transformée de Fourier et, tout comme les fonctions périodiques, on peut les déduire de cette transformée ;Les fonctions à valeurs complexes sur un groupe abélien fini ont une transformée de Fourier discrète définie sur le groupe dual, qui n'est pas canoniquement isomorphe au groupe de départ.
De plus, toute fonction sur un groupe abélien fini peut être déduite de sa transformée de Fourier discrète. Un groupe topologique est une mesure si dans. Analyse harmonique (mathématiques) Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. Analyseur harmonique mécanique de Lord Kelvin datant de 1878 L'analyse harmonique, est la branche des mathématiques qui étudie la représentation des fonctions ou des signaux comme superposition d'ondes de base. Elle approfondit et généralise les notions de série de Fourier et de transformée de Fourier. Les ondes de base s'appellent les harmoniques, d'où le nom de la discipline. L'analyse harmonique, historiquement liée au développement de la théorie des séries de Fourier, a reçu un ensemble de généralisations modernes, notamment grâce aux travaux de l'école russe de Gelfand, qui la situe dans un contexte très général et abstrait : par exemple l'analyse harmonique sur les groupes de Lie.
La transformation de Fourier généralise la théorie des séries de Fourier aux fonctions non périodiques et permet également de leur associer un spectre en fréquences. La transformée de Fourier classique sur. Géométrie.