List of fractals by Hausdorff dimension. From Wikipedia, the free encyclopedia According to Benoit Mandelbrot, "A fractal is by definition a set for which the Hausdorff-Besicovitch dimension strictly exceeds the topological dimension. "[1] Presented here is a list of fractals, ordered by increasing Hausdorff dimension, to illustrate what it means for a fractal to have a low or a high dimension.
Deterministic fractals[edit] Random and natural fractals[edit] See also[edit] Notes and references[edit] Further reading[edit] External links[edit] Hausdorff dimension. In mathematics, the Hausdorff dimension (also known as the Hausdorff–Besicovitch dimension) is an extended non-negative real number associated with any metric space. The Hausdorff dimension generalizes the notion of the dimension of a real vector space.
That is, the Hausdorff dimension of an n-dimensional inner product space equals n. This means, for example, the Hausdorff dimension of a point is zero, the Hausdorff dimension of a line is one, and the Hausdorff dimension of the plane is two. There are, however, many irregular sets that have noninteger Hausdorff dimension. The concept was introduced in 1918 by the mathematician Felix Hausdorff. Many of the technical developments used to compute the Hausdorff dimension for highly irregular sets were obtained by Abram Samoilovitch Besicovitch. Sierpinski triangle. Intuition[edit] The intuitive concept of dimension of a geometric object X is the number of independent parameters one needs to pick out a unique point inside.
In other words, . If. Hausdorff-Dimension. Vereinfachte Definition[Bearbeiten] der Kugeln mit dem Radius des Radius . Je kleiner der Radius ist, umso größer ist , mit der gegen Null anwächst, berechnet sich die Hausdorff-Dimension und zwar nach und damit . . Für den Spezialfall eines geometrischen Objekts, welches aus disjunkten Teilobjekten besteht, die im Maßstab verkleinerte Kopien des Gesamtobjekts darstellen, ergibt sich für die Hausdorff-Dimension . Teilobjekte verschiedene Größe, so ist durch definiert, wobei die einzelnen Maßstäbe sind ( ). Es ist jedoch zu beachten, dass diese vereinfachte Definition sich nicht generell mit der exakten Definition (s. u.) deckt. Für eine numerische Bestimmung der Hausdorff-Dimension einer gegebenen Punktmenge lässt sich der so genannte Boxcounting-Algorithmus verwenden. Definition über das Hausdorff-Maß[Bearbeiten] Eine mathematisch exakte Definition der Hausdorff-Dimension einer beschränkten Teilmenge erfolgt über das Hausdorff-Maß , das dieser Menge zu jeder Dimension zugeordnet wird.
. , für die Für festes. H tree. The first ten levels of an H tree The first 18 levels of an H tree as an animation. The H tree (so called because its repeating pattern resembles the letter "H") is a family of fractal sets whose Hausdorff dimension is equal to 2. They can be constructed by starting with a line segment of arbitrary length, drawing two shorter segments at right angles to the first through its endpoints, and continuing in the same vein, reducing (dividing) the length of the line segments drawn at each stage by √2.[1] Surprisingly, continuing this process will eventually come arbitrarily close to every point in a rectangle, or in other words, the H-fractal is a space-filling curve.[2] It is also an example of a fractal canopy, in which the angle between neighboring line segments is always 180 degrees.
The Mandelbrot Tree is a very closely related fractal using rectangles instead of line segments, slightly offset from the H-tree positions, in order to produce a more naturalistic appearance. Applications[edit] H-Baum. Die ersten zehn Stufen eines H-Baumes Der H-Baum ist eine FASS-Kurve, d. h. er füllt die ganze Ebene aus. Seine fraktale Hausdorff-Dimension ist 2. Mit jeder neuen Iteration multipliziert sich die Gesamtlänge der Kurve um H-Bäume spielen beim Entwurf von synchronen digitalen Schaltungen zur Signalverteilung eine Rolle. So wird in jenen Schaltungen über H-Bäume die Übertragung der zentral eingespeisten Taktsignale zu allen Schaltungsteilen am Chip mit identischen Übertragungszeiten sichergestellt. Ein anderes Beispiel für die Verwendung von H-Bäumen ist die Abbildung der Kommunikationsstruktur eines Programms auf die Prozessoren in einem Computercluster. Z-order curve. Four iterations of the Z-order curve. Z-order curve iterations extended to three dimensions.
Coordinate values[edit] The figure below shows the Z-values for the two dimensional case with integer coordinates 0 ≤ x ≤ 7, 0 ≤ y ≤ 7 (shown both in decimal and binary). Interleaving the binary coordinate values yields binary z-values as shown. Connecting the z-values in their numerical order produces the recursively Z-shaped curve. Efficiently building quadtrees[edit] As mentioned, the Z-ordering can be used to efficiently build a quadtree for a set of points. The input points are usually scaled in each dimension to be positive integers, either as a fixed point representation over the unit range [0, 1] or corresponding to the machine word size. Points can be sorted according to their shuffle without explicitly interleaving the bits. The exclusive or operation masks off the higher order bits for which the two coordinates are identical. Def less_msb(x, y): return x < y and x < (x ^ y) See also[edit] Z-Kurve.
Die Z-Kurve ist beliebt aufgrund ihrer guten Nachbarschaftserhaltung und der einfachen Berechenbarkeit der Z-Werte. Bei der Hilbert-Kurve ist die Nachbarschaftserhaltung besser, doch sind die Berechnungen komplizierter. Unter Weglassung gering signifikanter Bits kann man die Z-Werte für Hashtabellen verwenden, in denen Nachbarschaftssuchen möglich sind. Diese Abbildung zeigt die Z-Werte für den zweidimensionalen Fall mit den Koordinaten x=0..7, y=0..7; folgt man den Werten, so erhält man eine rekursiv Z-förmige Kurve.
Trotz der guten Nachbarschaftserhaltung ist für die mehrdimensionale Bereichssuche ein Algorithmus erforderlich, um, ausgehend von einem in der Datenstruktur außerhalb des Suchbereichs angetroffenen Punkt, den nächsten Z-Wert zu bestimmen, dessen Koordinaten im Suchbereich liegen. In diesem Beispiel ist der Suchbereich (x=2..3, y=2..6) mit dem gepunkteten Rechteck angezeigt. BIGMIN Quellcode für Z-Kurve und Hilbert-Kurve findet man in.[2] Sierpiński curve. Sierpiński curves are a recursively defined sequence of continuous closed plane fractal curves discovered by Wacław Sierpiński, which in the limit completely fill the unit square: thus their limit curve, also called the Sierpiński curve, is an example of a space-filling curve.
Because the Sierpiński curve is space-filling, its Hausdorff dimension (in the limit ) is . The Euclidean length of is i.e., it grows exponentially with beyond any limit, whereas the limit for of the area enclosed by that of the square (in Euclidean metric). Uses of the curve[edit] The Sierpiński curve is useful in several practical applications because it is more symmetrical than other commonly studied space-filling curves.
A space-filling curve is a continuous map of the unit interval onto a unit square and so a (pseudo) inverse maps the unit square to the unit interval. Drawing the curve[edit] References[edit] See also[edit] Sierpinski-Kurve. Sierpiński-Kurve 1. Ordnung Sierpiński-Kurven 1. und 2. Ordnung Sierpiński-Kurven 1. bis 3. Ordnung Die Sierpiński-Kurven sind eine rekursiv definierte Folge von stetigen geschlossenen fraktalen Kurven, die im Übergang das Einheitsquadrat ausfüllen (sogenannte raumfüllende oder FASS-Kurve). Der Grenzwert der von der Sierpiński-Kurve umschlossenen Fläche ist ist , d.h. wächst exponentiell mit. E-Kurve.
Die E-Kurve zählt zur Gruppe der so genannten FASS-Kurven (space-filling, self-avoiding, simple, self-similar). Diese Kurven sind raum- bzw. flächenfüllend, selbstausweichend (d.h. überschneidungs- und berührungsfrei), einfach und selbstähnlich. Erläuterung des Konstruktionsverfahrens[Bearbeiten] Einem Quadrat wird eine E-Kurve der Stufe n = 1 eingeschrieben: Um leichter darstellen zu können, wie in der Folge die einzelnen Segmente des Linienzuges ersetzt werden, wird das folgende Muster angewendet, bei dem einerseits zwischen hellen und dunklen Teilquadraten unterschieden wird und andererseits jeweils die Orientierung der Quadrate (siehe Markierung) beachtet werden muss: In der Folge werden die dunklen Quadrate durch dasselbe Muster ersetzt (Orientierung beachten!) Und die hellen Quadrate durch das negative Abbild des Musters (Orientierung beachten!) Nach diesem Schritt erhält man eine E-Kurve der Stufe n = 2: Dieses Verfahren kann nun beliebig oft fortgesetzt werden.
Siehe auch[Bearbeiten] Datei:Gosper curve 1.svg. Summary[edit] Gosper curve of degree 1. Created by me as a vector replacement for Licensing[edit] The categories of this image should be checked. Check them now! Remove redundant categories and try to put this image in the most specific category/categoriesRemove this template by clicking here (or on the first line) Click on a date/time to view the file as it appeared at that time. The following other wikis use this file: Gosper-Kurve. Die Gosper-Kurve benannt nach Bill Gosper ist ein fraktales Objekt, das ähnlich wie die Drachenkurve und die Hilbert-Kurve durch Ersetzung erzeugt wird: Algorithmen[Bearbeiten] Lindenmayer-System[Bearbeiten] Die Gosper-Kurve lässt sich durch ein Lindenmayer-System mit folgenden Eigenschaften beschreiben: Winkel: 60°Startstring: Ableitungsregeln: Logo[Bearbeiten] to rg :st :ln make "st :st - 1 make "ln :ln / 2.6457 if :st > 0 [rg :st :ln rt 60 gl :st :ln rt 120 gl :st :ln lt 60 rg :st :ln lt 120 rg :st :ln rg :st :ln lt 60 gl :st :ln rt 60] if :st = 0 [fd :ln rt 60 fd :ln rt 120 fd :ln lt 60 fd :ln lt 120 fd :ln fd :ln lt 60 fd :ln rt 60] end to gl :st :ln make "st :st - 1 make "ln :ln / 2.6457 if :st > 0 [lt 60 rg :st :ln rt 60 gl :st :ln gl :st :ln rt 120 gl :st :ln rt 60 rg :st :ln lt 120 rg :st :ln lt 60 gl :st :ln] if :st = 0 [lt 60 fd :ln rt 60 fd :ln fd :ln rt 120 fd :ln rt 60 fd :ln lt 120 fd :ln lt 60 fd :ln] end Das Programm kann beispielsweise mit rg 4 300 aufgerufen werden.
Peano curve. Three iterations of a Peano curve construction, whose limit is a space-filling curve. In geometry, the Peano curve is the first example of a space-filling curve to be discovered, by Giuseppe Peano in 1890.[1] Peano's curve is dense in the unit square, and was used by Peano to construct a continuous function from the unit interval to the unit square, motivated by an earlier result of Georg Cantor that these two sets have the same cardinality.
Because of this example, some authors use the phrase "Peano curve" to refer more generally to any space-filling curve.[2] Construction[edit] Peano's curve may be constructed by a sequence of steps, where the ith step constructs a set Si of squares, and a sequence Pi of the centers of the squares, from the set and sequence constructed in the previous step. As a base case, S0 consists of the single unit square, and P0 is the one-element sequence consisting of its center point. Variants[edit] References[edit] Peano-Kurve. Die Peano-Kurve (nach Giuseppe Peano) ist eine raumfüllende Kurve (FASS-Kurve). Im zweidimensionalen Fall ist ein Beispiel für eine Peanokurve das folgende: Man beginnt mit der Unterteilung eines Quadrats in neun gleich große Quadrate, die in einer S-Kurve durchlaufen werden.
Im nächsten Schritt wird jedes dieser Quadrate wieder unterteilt und die entstehenden Quadrate in S-Kurven durchlaufen, die als neue Kurve zusammengehängt werden: Skaliert man die Kurven auf dieselbe Größe, erhält man als erste vier Schritte: Setzt man dieses Verfahren der Rekursion fort, erhält man eine Folge von Kurven, die punktweise konvergiert. Als Grenzwert erhält man die Peano-Kurve, auf der jeder Punkt des Ausgangsquadrats liegt und die unendlich lang ist. Dieses Verfahren lässt sich leicht auf höhere Dimensionen verallgemeinern. (mit ) wiederum stetige und surjektive Abbildungen , und durch Verkettung erhält man eine stetige Surjektion für jede natürliche Zahl Weitere Peano-Kurven[Bearbeiten] Weblinks[Bearbeiten] Hilbert curve. First 8 steps toward building the Hilbert curve A Hilbert curve (also known as a Hilbert space-filling curve) is a continuous fractal space-filling curve first described by the German mathematician David Hilbert in 1891,[1] as a variant of the space-filling curves discovered by Giuseppe Peano in 1890.[2] Because it is space-filling, its Hausdorff dimension is (precisely, its image is the unit square, whose dimension is 2 in any definition of dimension; its graph is a compact set homeomorphic to the closed unit interval, with Hausdorff dimension 2). is the th approximation to the limiting curve.
The Euclidean length of is , i.e., it grows exponentially with , while at the same time always being bounded by a square with a finite area. Images[edit] Hilbert curve, first orderHilbert curves, first and second ordersHilbert curves, first to third ordersHilbert curve, construction color codedHilbert curve in three dimensions3-D Hilbert curve with color showing progression in the lower-right corner. Hilbert-Kurve. FASS-Kurve. Space-filling curve. Space-filling curve.