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Lagrangians

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Hamiltonsches Prinzip. Das Hamiltonsche Prinzip der Theoretischen Mechanik ist ein Extremalprinzip. Physikalische Felder und Teilchen nehmen danach für eine bestimmte Größe einen extremalen (d. h. größten oder kleinsten) Wert an. Diese Bewertung nennt man Wirkung, mathematisch ist die Wirkung ein Funktional. Die Wirkung erweist sich in vielen Fällen nicht als minimal, sondern nur als „stationär“ (d. h. extremal). Deshalb wird das Prinzip von manchen Lehrbuchautoren auch das Prinzip der stationären Wirkung genannt[1]. Ein Beispiel ist das Fermatsche Prinzip, nach dem ein Lichtstrahl in einem Medium von allen denkbaren Wegen vom Anfangspunkt zum Endpunkt den Weg mit der geringsten Laufzeit durchläuft. Die Newtonschen Bewegungsgleichungen folgen bei geeignet gewählter Wirkung aus dem Hamiltonschen Prinzip. Geschichte[Bearbeiten] Pierre Maupertuis sprach 1746 als erster von einem allgemeingültigen Prinzip der Natur, extremal oder optimal abzulaufen (vgl. auch Ockhams Rasiermesser)

. , des Ortes Jeder Bahn Die Wirkung. Invarianz. Invarianz ist die Unveränderlichkeit von Größen. Das zugehörige Adjektiv lautet invariant. Der Begriff wird in folgenden Wissenschaften verwendet: Als Invariante wird die Größe selbst bezeichnet, die unverändert bleibt: Siehe auch: Lagrange-Formalismus. Für Systeme mit einem generalisierten Potential und holonomen Zwangsbedingungen lautet die Lagrange-Funktion wobei die kinetische Energie und die potentielle Energie des betrachteten Systems bezeichnen. Man unterscheidet sogenannte Lagrange-Gleichungen erster und zweiter Art. Im engeren Sinn versteht man unter dem Lagrange-Formalismus und den Lagrange-Gleichungen aber die zweiter Art, die häufig einfach als Lagrange-Gleichungen bezeichnet werden: Dabei sind generalisierte Koordinaten und deren Zeitableitungen. Lagrange-Gleichungen erster und zweiter Art[Bearbeiten] Mit den Lagrange-Gleichungen erster Art lassen sich die Zwangskräfte explizit ausrechnen.

Punktteilchen im mit den Ortsvektoren , deren Koordinaten durch voneinander unabhängige (holonome) Zwangsbedingungen der Form mit eingeschränkt sind (wobei eine explizite Zeitabhängigkeit zugelassen wurde). -dimensionale Mannigfaltigkeit eingeschränkt ( ist die Anzahl der Freiheitsgrade). Die Zwangskräfte dargestellt werden: Die sind die Massen der . Also.

Optimization

Field. Liénard–Wiechert potential. These expressions were developed in part by Alfred-Marie Liénard in 1898 and independently by Emil Wiechert in 1900[1] and continued into the early 1900s. Implications[edit] The study of classical electrodynamics was instrumental in Einstein's development of the theory of relativity. Analysis of the motion and propagation of electromagnetic waves led to the special relativity description of space and time. The Liénard–Wiechert formulation is an important launchpad into more complex analysis of relativistic moving particles. The Liénard–Wiechert description is accurate for a large, independent moving particle, but breaks down at the quantum level.

Quantum mechanics sets important constraints on the ability of a particle to emit radiation. Universal Speed Limit[edit] The force on a particle at a given location r and time t depends in a complicated way on the position of the source particles at an earlier time tr due to the finite speed, c, at which electromagnetic information travels. Where .

Gauge

Technical models. N body. Lagrangian mechanics. Lagrangian mechanics is a re-formulation of classical mechanics using the principle of stationary action (also called the principle of least action).[1] Lagrangian mechanics applies to systems whether or not they conserve energy or momentum, and it provides conditions under which energy, momentum or both are conserved.[2] It was introduced by the Italian-French mathematician Joseph-Louis Lagrange in 1788. The use of generalized coordinates may considerably simplify a system's analysis.

For example, consider a small frictionless bead traveling in a groove. If one is tracking the bead as a particle, calculation of the motion of the bead using Newtonian mechanics would require solving for the time-varying constraint force required to keep the bead in the groove. For the same problem using Lagrangian mechanics, one looks at the path of the groove and chooses a set of independent generalized coordinates that completely characterize the possible motion of the bead. Conceptual framework[edit] Lagrangian. The Lagrangian, L, of a dynamical system is a function that summarizes the dynamics of the system. The Lagrangian is named after Italian-French mathematician and astronomer Joseph Louis Lagrange. The concept of a Lagrangian was introduced in a reformulation of classical mechanics introduced by Lagrange known as Lagrangian mechanics.

Definition[edit] In classical mechanics, the natural form of the Lagrangian is defined as the kinetic energy, T, of the system minus its potential energy, V.[1] In symbols, If the Lagrangian of a system is known, then the equations of motion of the system may be obtained by a direct substitution of the expression for the Lagrangian into the Euler–Lagrange equation. The Lagrangian of a given system is not unique, and two Lagrangians describing the same system can differ by the total derivative with respect to time of some function , but solving any equivalent Lagrangians will give the same equations of motion.[2][3] The Lagrangian formulation[edit] ), given by: .