Gauge fixing. Although the unphysical axes in the space of detailed configurations are a fundamental property of the physical model, there is no special set of directions "perpendicular" to them. Hence there is an enormous amount of freedom involved in taking a "cross section" representing each physical configuration by a particular detailed configuration (or even a weighted distribution of them). Judicious gauge fixing can simplify calculations immensely, but becomes progressively harder as the physical model becomes more realistic; its application to quantum field theory is fraught with complications related to renormalization, especially when the computation is continued to higher orders.
Historically, the search for logically consistent and computationally tractable gauge fixing procedures, and efforts to demonstrate their equivalence in the face of a bewildering variety of technical difficulties, has been a major driver of mathematical physics from the late nineteenth century to the present. . Coulomb-Eichung. Die Coulomb-Eichung (aufgrund des Zusammenhangs mit dem Coulomb Potential (s.u.); auch Strahlungseichung oder transversale Eichung) ist eine mögliche Eichung der Elektrodynamik, beschreibt also eine Einschränkung der elektrodynamischen Potentiale. Eichfreiheit der Elektrodynamik[Bearbeiten] Um die Lösung der Maxwell-Gleichungen zu erleichtern, führt man für das elektrische und das Magnetfeld das Skalarpotential und das Vektorpotential ein, die die klassisch beobachtbaren Felder durch beschreiben. Diese Definition erlaubt sogenannte Eichfreiheiten in der Wahl von skalarem Potential und Vektorpotential, die keine Auswirkungen auf messbare Größen haben, insbesondere nicht auf elektrisches Feld und magnetische Flussdichte.
Die Coulomb-Eichung[Bearbeiten] Wegen und folgen daraus die im nächsten Paragraphen notierten Resultate. (Die Eichfreiheit besteht hier darin, dass man zu ein beliebiges Wirbelfeld addieren kann, weil die Divergenz eines Vektors der Form stets Null ergibt.) . Zu durchlaufen. John H. Lorenz-Eichung. Die Lorenz-Eichung, nach Ludvig Lorenz, ist eine spezielle Eichung der elektromagnetischen Potentiale. Sie wird oft fälschlicherweise als Lorentz-Eichung bezeichnet und Hendrik Antoon Lorentz zugeschrieben, nach dem die Lorentz-Transformation benannt ist. Die Lorenz-Eichung ist im statischen Fall mit der Coulomb-Eichung identisch. Vorbemerkung[Bearbeiten] Die Lorenz-Eichung, Relativistische Invarianz[Bearbeiten] (SI-System) (Gauß-System) Die Eichfreiheit der elektrodynamischen Potentiale wird dahingehend ausgenutzt, dass die Summe aus der Divergenz des Vektorpotentials und der ersten partiellen Ableitung des skalaren Potentials nach der Zeit t Null ergibt.
Und zusammen. Somit geht aus der vierdimensionalen Formel der inhomogenen Maxwell-Gleichungen und dem Feldstärketensor der folgende Ausdruck hervor: Unter Verwendung der Lorenzeichung ergeben sich die Wellengleichungen im Vierdimensionalen (mit dem D’Alembertoperator Schreibweise mittels Differentialformen[Bearbeiten] wobei der Hodge-Stern-Operator, Eichtransformation. Eine Eichtransformation verändert die sogenannten Eichfelder einer physikalischen Theorie (wie z. B. die elektromagnetischen Potentiale oder die potentielle Energie) dergestalt, dass die physikalisch wirksamen Felder (z.
B. das elektromagnetische Feld oder ein Kraftfeld) und damit alle beobachtbaren Abläufe dabei die gleichen bleiben.[1] Dies wird als Eichfreiheit bezeichnet. Man unterscheidet globale und lokale Eichtransformationen. Eine globale Eichtransformation wird an jedem Ort mit gleichem Wert durchgeführt, wie z. Elektrodynamik[Bearbeiten] Die Elektrodynamik ist invariant unter der Eichtransformation die die Potentialfunktion des elektrischen Feldes und des magnetischen Feldes um die partiellen Ableitungen einer beliebig wählbaren Funktion ändert.
Diese Transformation ändert weder das Magnetfeld noch das elektrische Feld Das Beispiel verwendet das Maßsystem mit , zur Definition von und Beispiele[Bearbeiten] Lorenz-Eichung[Bearbeiten] , die Coulomb-Eichung[Bearbeiten] Erfüllt die Eichfunktion. Eichtheorie. Anschaulich bedeutet dies, dass die von der Theorie vorhergesagten Wechselwirkungen sich nicht ändern, wenn eine bestimmte Größe lokal frei gewählt wird. Diese Möglichkeit, eine Größe an jedem Ort unabhängig festzulegen – zu eichen wie einen Maßstab – veranlasste den deutschen Mathematiker Hermann Weyl in den 1920er Jahren zur Wahl des Namens Eichinvarianz bzw. Eichsymmetrie. Weyl entdeckte die Eichinvarianz zunächst in der Elektrodynamik und versuchte durch Anwendung des Prinzips auf Einsteins allgemeine Relativitätstheorie, die Elektrodynamik und die Gravitation zu einer Theorie zu vereinigen. Die daraus resultierende Theorie erwies sich jedoch als falsch.
Eichtheorien in der Physik der Elementarteilchen[Bearbeiten] Das Standardmodell der Elementarteilchenphysik enthält zwei solcher Eichtheorien: Das Noether-Theorem garantiert, dass jedem Teilchen, das der zu beschreibenden Wechselwirkung unterliegt, eindeutig eine erhaltene Ladung zugeordnet werden kann, z. . , Hyperladung , Color . Und . Gauge-Integral. Das Gauge-Integral (auch: Eichintegral, Henstock-Integral, Henstock-Kurzweil-Integral) ist ein Integraltyp, dessen heutige Formulierung erst Mitte des 20.
Jahrhunderts von dem Mathematiker Jaroslav Kurzweil entdeckt wurde. Ralph Henstock widmete sich der Entwicklung der Theorie dieses Integraltyps. Eine zentrale Abschätzung, das sog. Henstock-Lemma, ist nach ihm benannt. Die Besonderheit des Gauge-Integrals besteht darin, dass jede Ableitungsfunktion automatisch (das heißt ohne Zusatzvoraussetzungen) integrabel ist mit . Das Gauge-Integral enthält sowohl das Riemann- als auch das Lebesgue-Integral als Spezialfälle, d. h. jede Riemann- bzw. Den Namen Eichintegral (Gauge ist der englische Ausdruck für Eichung) verdankt das Integral seiner Definition: Ähnlich wie das Riemann-Integral kommen auch beim Eichintegral Zerlegungen und Riemann-Summen zum Einsatz, die Feinheit einer Zerlegung wird allerdings mit einer speziellen intervallwertigen Funktion, genannt Eichfunktion, beurteilt. mit über ein.
Introduction to gauge theory. For example, in electromagnetism the electric and magnetic fields, E and B, are observable, while the potentials V ("voltage") and A (the vector potential) are not.[3] Under a gauge transformation in which a constant is added to V, no observable change occurs in E or B. With the advent of quantum mechanics in the 1920s, and with successive advances in quantum field theory, the importance of gauge transformations has steadily grown.
Gauge theories constrain the laws of physics, because all the changes induced by a gauge transformation have to cancel each other out when written in terms of observable quantities. Over the course of the 20th century, physicists gradually realized that all forces (fundamental interactions) arise from the constraints imposed by local gauge symmetries, in which case the transformations vary from point to point in space and time. History and importance[edit] In classical physics[edit] Electromagnetism[edit] General relativity[edit] , where In quantum mechanics[edit] Gauge theory.