Pythagoras tree (fractal) The Pythagoras tree. The Pythagoras tree with an angle of 25 degrees and smooth coloring. Iteration n in the construction adds 2n squares of size (½√2)n, for a total area of 1. Thus the area of the tree might seem to grow without bound in the limit as n → ∞. However, some of the squares overlap starting at the order 5 iteration, and the tree actually has a finite area because it fits inside a 6×4 box.[5] It can be shown easily that the area A of the Pythagoras tree must be in the range 5 < A < 18, which can be narrowed down further with extra effort. Little seems to be known about the actual value of A.
An interesting set of variations can be constructed by maintaining an isosceles triangle but changing the base angle (90 degrees for the standard Pythagoras tree). In the limit where the half-angle is 90 degrees, there is obviously no overlap, and the total area is twice the area of the base square. Pythagoras tree was first constructed by Albert E. Lévy C curve. Wieferich-Primzahl. Eine Wieferich-Primzahl ist eine Primzahl p mit der Eigenschaft, dass 2 p −1 − 1 durch p 2 teilbar ist. Alternativ kann man dies auch als Kongruenz schreiben: Solche Primzahlen wurden 1909 von dem deutschen Mathematiker Arthur Wieferich erstmals beschrieben. [1] Bekannte Wieferich-Primzahlen [ Bearbeiten ] Man kennt bisher nur zwei Wieferich-Primzahlen, nämlich 1093 (Waldemar Meißner 1913) [2] und 3511 ( Beeger 1922). [3] Mit Computerhilfe wurden bis November 2008 alle Zahlen bis 6,7 × 10 15 untersucht, weitere Wieferich-Primzahlen fand man dabei nicht. [4] Es ist nicht bekannt, ob es unendlich viele Wieferich-Primzahlen gibt.
Es besteht sowohl die Vermutung, dass dies nicht der Fall ist, [5] als auch die gegenteilige, genauer: dass zwischen und etwa Wieferich-Primzahlen liegen. [6] Es ist sogar noch offen, ob es unendlich viele Primzahlen gibt, die keine Wieferich-Primzahlen sind. Verwandtschaft mit dem großen fermatschen Satz [ Bearbeiten ] Für eine Wieferich-Primzahl p gilt: Ywhmaths. Apfelmännchen. Was ist ein Apfelmännchen? Das Besondere ist der gefranste Rand des Apfelmännchens. Er ist reich an Mustern. Greift man ein kleines Rechteck aus dem Randbezirk heraus und bestimmt nach den Formeln des Apfelmännchens farbige Punkte, so ergeben sich vielfältige, farbenreiche Muster, die sich je nach der Wahl der Randstelle stark unterscheiden.
Mathematischer Hintergrund top (Man kann dieses Kapitel auch überschlagen und bei Erster Umgang mit Fractint fortfahren.) Kurzfassung: Zu jedem Punkt wird eine Folge bestimmt. An der Folge wird eine Zahl abgelesen. Vom Punkt zur Folge top Setzt man komplexe Zahlen voraus, so heißt die Rekursionsformel der Folge z n+1 =z n ² + c. Die folgenden Formeln werden für das Apfelmännchen verwendet. x n+1 = x n ²-y n ² + x 1 und y n+1 = 2*x n *y n + y 1 und a n+1 = SQRT(x n+1 ² + y n+1 ²) mit n = 0,1,2,3,... und x 0 =y 0 =0 (SQRT = Wurzel aus). Die Rechnung wird am Beispiel des Punktes P 1 (x 1 |y 1 ) = P 1 (-0.40|0.70) erklärt: Apfelmännchen im Internet top M. Complex Numbers. Mathematica | Paul Nylander. This surface can be formed by twisting and warping a singly-periodic Scherk’s minimal surface.
This idea was originally attributed to Brent Collins. Technically, the surface is no longer considered exactly “minimal” after twisting but it still looks minimal (it is actually very difficult to find the exact shape for most minimal surfaces). Click here to download some POV-Ray code. The following Mathematica code can be used to increase the number of edges (or “branches”). Links. Special Report - International Science and Engineering Visualization Challenge. Root-Finding Fractals | Softology's Blog. Newton Fractals You may have seen Newton fractals like the following image. The image comes from the formula z^3-1=0. When this fomula is plotted to the complex plane it has 3 distinct roots or possible values for z that satisfy the equation. Each “pixel” (or location in the 2D complex plane) of the image is set to the initial z complex number value at that coordinate and then iterated through the root finding method equation.
The resulting pixel colors form a basin of attraction. Each pixel is colored red, green or blue depending on which root it finds. A much more pleasing coloring method is to map how long it takes the iteration to reach a target root. To see more sample images visit my Flickr Newton Fractals gallery. Since Newton many other mathematicians have devised other formulas to solve the problem of finding multiple roots to polynomial equations. Halley Fractals To see more sample images visit my Flickr Halley Fractals gallery.
Here is a sample movie of a Halley Fractal. Summary.